Quadratisches Wachstum verstehen
Eine Wertetabelle zeigt: x = 0, 1, 2, 3 und y = 0, 1, 4, 9. Wächst y linear oder quadratisch?
Erklärung: Linear heißt: in jedem Schritt kommt gleich viel dazu. Hier wachsen die Zuwächse selbst (1, 3, 5, …) — das ist quadratisches Wachstum.
f(x) = x². Wie ändert sich der Funktionswert, wenn man x von 3 auf 6 verdoppelt?
Erklärung: Doppeltes x heißt beim Quadrieren vierfaches y, denn (2x)² = 4x².
Der Bremsweg eines Autos wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Ein Auto fährt doppelt so schnell. Was passiert mit dem Bremsweg?
Erklärung: „Doppelt so schnell, doppelter Bremsweg" wäre lineares Denken. Quadratisch heißt: doppelte Geschwindigkeit, vierfacher Bremsweg.
f(x) = x². Von f(4) = 16 auf f(5) = 25 beträgt der Zuwachs ___.
Erklärung: 25 − 16 = 9. Die Zuwächse von x² sind die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, …
Der Graph von y = x² steigt überall gleich schnell.
Erklärung: Nein — je größer x, desto steiler der Graph. Nur lineare Graphen steigen überall gleich schnell.
Was gibt die Zahl c in f(x) = ax² + bx + c am Graphen an?
Erklärung: c ist f(0), also der y-Achsenabschnitt. Eine Parabel hat keine feste Steigung — c als „Steigung" zu lesen, ist ein typischer Fehler aus der linearen Welt.
Der Graph von y = x² hört bei x = 10 auf, wenn das gezeichnete Koordinatensystem dort endet.
Erklärung: Der Graph geht unendlich weiter — gezeichnet ist immer nur ein Ausschnitt.
Liegt der Punkt (5|25) auf dem Graphen von y = x²? Woran entscheidest du das?
Erklärung: Ob ein Punkt auf dem Graphen liegt, prüft man durch Einsetzen — Augenmaß in der Zeichnung täuscht leicht.
f(x) = x². Welcher andere x-Wert hat denselben Funktionswert wie x = 4?
Erklärung: f(4) = 16 und f(−4) = (−4)² = 16. Quadrieren macht aus x und −x denselben Wert — deshalb ist die Normalparabel achsensymmetrisch zur y-Achse.
f(x) = x². Berechne den Zuwachs f(10) − f(9) = ___.
Erklärung: 100 − 81 = 19. Weit draußen sind die Zuwächse groß — der Graph wird immer steiler.
Ein Punktmuster hat in Figur 1, 2, 3, 4 genau 1, 4, 9, 16 Steine. Wie viele Steine hat Figur 5?
Erklärung: Die Anzahl ist das Quadrat der Figurnummer — Figur 5 hat 5² = 25 Steine.
Quadratisches Wachstum bedeutet: In jedem Schritt kommt gleich viel dazu.
Erklärung: Das wäre lineares Wachstum. Beim quadratischen Wachstum werden die Zuwächse selbst immer größer.
Welche Funktion hat für sehr große x die größeren Werte: f(x) = x² oder g(x) = 100·x?
Erklärung: Für x = 200 ist x² = 40000, aber 100·x = 20000. Quadratisches Wachstum überholt auf Dauer jedes lineare Wachstum.
In einer Tabelle sind die zweiten Differenzen (die Zuwächse der Zuwächse) konstant. Was folgt daraus?
Erklärung: Konstante erste Differenzen: linear. Konstante zweite Differenzen: quadratisch — das ist das Erkennungszeichen in Wertetabellen.