Quadratisches Wachstum verstehen

Understanding quadratic growth

Mathematik Klasse 9 14 Aufgaben
FunktionenQuadratischParabelKerncurriculum

Quadratisches Wachstum unterscheidet sich grundlegend vom linearen: Bei f(x) = x² kommt nicht in jedem Schritt gleich viel dazu, die Zuwächse wachsen selbst — die zweiten Differenzen sind konstant. Verdoppelt man x, vervierfacht sich y (der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit). Das trennt die Fehlvorstellung ab, quadratische Funktionen wie lineare zu behandeln — etwa c in ax² + bx + c als „Steigung" zu lesen (Zaslavsky 1997) oder das Lineare überzugeneralisieren („doppelt so schnell, doppelter Bremsweg", De Bock & Van Dooren). Es trägt die formale Arbeit an Parabeln, Scheitel und Parametern.

Voraussetzungen (2)

Funktionsbegriff
Klasse 8
›
Lineare Funktionen
Klasse 8
›

Ermöglicht (2)

Kinematik und Bewegungsgleichungen
Klasse 10
›
Quadratische Funktionen
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Eine Wertetabelle zeigt: x = 0, 1, 2, 3 und y = 0, 1, 4, 9. Wächst y linear oder quadratisch?

  • ● Quadratisch — die Zuwächse (1, 3, 5) werden selbst immer größer.
  • ○ Linear — y wird ja in jedem Schritt größer.
  • ○ Weder noch — die Werte sind unregelmäßig.
Linear heißt: in jedem Schritt kommt gleich viel dazu. Hier wachsen die Zuwächse selbst (1, 3, 5, …) — das ist quadratisches Wachstum.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

f(x) = x². Wie ändert sich der Funktionswert, wenn man x von 3 auf 6 verdoppelt?

  • ● Er vervierfacht sich (von 9 auf 36).
  • ○ Er verdoppelt sich (von 9 auf 18).
  • ○ Er bleibt gleich.
Doppeltes x heißt beim Quadrieren vierfaches y, denn (2x)² = 4x².
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Der Bremsweg eines Autos wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Ein Auto fährt doppelt so schnell. Was passiert mit dem Bremsweg?

  • ● Er wird viermal so lang.
  • ○ Er wird doppelt so lang.
  • ○ Er wird achtmal so lang.
„Doppelt so schnell, doppelter Bremsweg" wäre lineares Denken. Quadratisch heißt: doppelte Geschwindigkeit, vierfacher Bremsweg.
Lückentext #4 12s ▶ Testen

f(x) = x². Von f(4) = 16 auf f(5) = 25 beträgt der Zuwachs ___.

✓ Antwort: 9
25 − 16 = 9. Die Zuwächse von x² sind die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, …
Wahr / Falsch #5 10s ▶ Testen

Der Graph von y = x² steigt überall gleich schnell.

✓ Falsch
Nein — je größer x, desto steiler der Graph. Nur lineare Graphen steigen überall gleich schnell.
Wahr / Falsch #6 10s ▶ Testen

Der Graph von y = x² hört bei x = 10 auf, wenn das gezeichnete Koordinatensystem dort endet.

✓ Falsch
Der Graph geht unendlich weiter — gezeichnet ist immer nur ein Ausschnitt.
Multiple Choice #7 15s ▶ Testen

Liegt der Punkt (5|25) auf dem Graphen von y = x²? Woran entscheidest du das?

  • ● Ja, denn 5² = 25 — rechnen, nicht nur hinschauen.
  • ○ Ja, wenn er in der Zeichnung ungefähr auf der Linie liegt.
  • ○ Nein, denn 25 ist zu groß.
Ob ein Punkt auf dem Graphen liegt, prüft man durch Einsetzen — Augenmaß in der Zeichnung täuscht leicht.
Multiple Choice #8 12s ▶ Testen

f(x) = x². Welcher andere x-Wert hat denselben Funktionswert wie x = 4?

  • ○ x = 1/4
  • ○ Kein anderer x-Wert
  • ● x = −4
f(4) = 16 und f(−4) = (−4)² = 16. Quadrieren macht aus x und −x denselben Wert — deshalb ist die Normalparabel achsensymmetrisch zur y-Achse.
Lückentext #9 15s ▶ Testen

f(x) = x². Berechne den Zuwachs f(10) − f(9) = ___.

✓ Antwort: 19
100 − 81 = 19. Weit draußen sind die Zuwächse groß — der Graph wird immer steiler.
Multiple Choice #10 15s ▶ Testen

Ein Punktmuster hat in Figur 1, 2, 3, 4 genau 1, 4, 9, 16 Steine. Wie viele Steine hat Figur 5?

  • ● 25
  • ○ 20
  • ○ 32
Die Anzahl ist das Quadrat der Figurnummer — Figur 5 hat 5² = 25 Steine.
Wahr / Falsch #11 10s ▶ Testen

Quadratisches Wachstum bedeutet: In jedem Schritt kommt gleich viel dazu.

✓ Falsch
Das wäre lineares Wachstum. Beim quadratischen Wachstum werden die Zuwächse selbst immer größer.
Mittel
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Was gibt die Zahl c in f(x) = ax² + bx + c am Graphen an?

  • ● Den Schnittpunkt mit der y-Achse.
  • ○ Die Steigung des Graphen.
  • ○ Die Nullstelle.
c ist f(0), also der y-Achsenabschnitt. Eine Parabel hat keine feste Steigung — c als „Steigung" zu lesen, ist ein typischer Fehler aus der linearen Welt.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Funktion hat für sehr große x die größeren Werte: f(x) = x² oder g(x) = 100·x?

  • ● f(x) = x², denn ab x > 100 überholt das Quadrat jede Gerade.
  • ○ g(x) = 100·x, denn 100 ist ein großer Faktor.
  • ○ Beide bleiben immer gleich groß.
Für x = 200 ist x² = 40000, aber 100·x = 20000. Quadratisches Wachstum überholt auf Dauer jedes lineare Wachstum.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

In einer Tabelle sind die zweiten Differenzen (die Zuwächse der Zuwächse) konstant. Was folgt daraus?

  • ● Der Zusammenhang ist quadratisch.
  • ○ Der Zusammenhang ist linear.
  • ○ Die Werte sind zufällig.
Konstante erste Differenzen: linear. Konstante zweite Differenzen: quadratisch — das ist das Erkennungszeichen in Wertetabellen.