Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras lautet: a² + b² = ___
Erklärung: In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a, b gilt: a² + b² = c².
Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten a = 3 cm und b = 4 cm. Berechne die Hypotenuse c (in cm).
Erklärung: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = √25 = 5 cm.
Katheten a = 5 cm und b = 12 cm. Berechne c (in cm).
Erklärung: c² = 25 + 144 = 169 → c = √169 = 13 cm.
Hypotenuse c = 10 cm, Kathete a = 6 cm. Berechne die Kathete b (in cm).
Erklärung: b² = c² − a² = 100 − 36 = 64 → b = √64 = 8 cm.
Ein Dreieck mit den Seiten 7, 24 und 25 ist rechtwinklig.
Erklärung: Richtig. 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras bestätigt den rechten Winkel.
Ein Dreieck mit den Seiten 5, 7 und 10 ist rechtwinklig.
Erklärung: Falsch. 5² + 7² = 25 + 49 = 74 ≠100 = 10². Kein rechter Winkel.
Was ist die Umkehrung des Satzes von Pythagoras?
Erklärung: Die Umkehrung: Wenn in einem Dreieck a² + b² = c² gilt (c längste Seite), dann ist der Winkel gegenüber c ein rechter Winkel.
Die Diagonale eines Rechtecks mit den Seiten 6 cm und 8 cm ist ___ cm lang.
Erklärung: d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → d = 10 cm.
Eine Leiter (5 m lang) lehnt an einer Wand. Der Fuß ist 3 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter (in m)?
Erklärung: h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16 → h = 4 m.
Berechne die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge 6 cm (gerundet auf 2 Dezimalen).
Erklärung: Die Höhe halbiert die Grundseite: h² = 6² − 3² = 36 − 9 = 27. h = √27 = 3√3 ≈ 5,20 cm.
Welches Zahlentripel ist ein pythagoräisches Tripel?
Erklärung: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Also ist (5, 12, 13) ein pythagoräisches Tripel.
Ein Quadrat hat die Diagonale 10 cm. Berechne die Seitenlänge (gerundet auf 2 Dezimalen, in cm).
Erklärung: d² = 2a² → a² = 100/2 = 50 → a = √50 = 5√2 ≈ 7,07 cm.
Katheten a = 8 cm und b = 15 cm. Berechne c (in cm).
Erklärung: c² = 64 + 225 = 289 → c = √289 = 17 cm.
Im Koordinatensystem: Berechne den Abstand zwischen P(1|2) und Q(4|6).
Erklärung: d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Der Satz des Pythagoras gilt auch für stumpfwinklige Dreiecke.
Erklärung: Falsch. Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Für allgemeine Dreiecke braucht man den Kosinussatz.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 9 und 40. Berechne die Hypotenuse.
Erklärung: c² = 81 + 1600 = 1681 → c = √1681 = 41.
In einem Quader mit Kantenlängen 3, 4 und 12 cm: Wie lang ist die Raumdiagonale (in cm)?
Erklärung: d² = 3² + 4² + 12² = 9 + 16 + 144 = 169. d = 13 cm. (Pythagoras zweimal anwenden.)