Anwendung des Sinussatzes
Sinussatz: a = 8, α = 30°, β = 45°. Berechne b. (sin 30° = 0,5; sin 45° ≈ 0,707. Gerundet auf 1 Dezimale)
Erklärung: a / sin α = b / sin β → 8 / 0,5 = b / 0,707 → 16 = b / 0,707 → b = 16 · 0,707 ≈ 11,3.
Gegeben: a = 10, b = 7, γ = 50°. Welcher Satz ist am besten geeignet?
Erklärung: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben — das ist der typische Anwendungsfall des Kosinussatzes.
Ein Dreieck hat α = 40°, β = 60° und a = 12. Berechne b. (sin 40° ≈ 0,643; sin 60° ≈ 0,866. Gerundet auf 1 Dezimale)
Erklärung: a / sin α = b / sin β → 12 / 0,643 = b / 0,866 → b = 12 · 0,866 / 0,643 ≈ 16,2.
Gegeben sind a = 8 cm, b = 5 cm und α = 80°; gesucht ist β. Welche Umformung des Sinussatzes passt?
Erklärung: Aus a/sin α = b/sin β folgt a · sin β = b · sin α und damit sin β = b · sin α / a. Die zweite Form vertauscht a und b — sie ergäbe hier einen Wert über 1.
In einem Dreieck sind a = 6 cm, b = 9 cm und α = 35° gegeben. Wie viele verschiedene Dreiecke passen dazu?
Erklärung: sin β = 9 · sin 35° / 6 ≈ 0,860 hat zwei Lösungen zwischen 0° und 180° — β ≈ 59,4° und β ≈ 120,6°. Beide ergeben mit α = 35° eine Winkelsumme unter 180°, also sind beide Dreiecke möglich.
Für a = 8 cm, b = 5 cm und α = 80° gibt es genau ein Dreieck.
Erklärung: Die gegebene Seite a liegt dem gegebenen Winkel gegenüber und ist länger als b. Der zweite Wert 180° − 38,0° = 142,0° ergäbe mit α = 80° schon über 180° — er scheidet aus.
In einem Dreieck ist α = 80° und β = 38°. Wie groß ist γ?
Erklärung: γ = 180° − 80° − 38° = 62°. Die 118° entstehen, wenn man nur α abzieht.
Ein Dreieck hat a = 8 cm, b = 5 cm und α = 80°. Berechne β (in Grad, auf 0,1° genau).
Erklärung: sin β = 5 · sin 80° / 8 ≈ 4,924 / 8 ≈ 0,616, also β ≈ 38,0°.
Ein Dreieck hat α = 50°, β = 70° und c = 8 cm. Berechne a (in cm, auf 0,1 cm genau).
Erklärung: γ = 180° − 50° − 70° = 60°. Aus a/sin α = c/sin γ folgt a = 8 cm · sin 50° / sin 60° ≈ 7,1 cm.
Ein Dreieck hat a = 6 cm, b = 9 cm und α = 35°. Berechne den stumpfen der beiden möglichen Winkel β (in Grad, auf 0,1° genau).
Erklärung: sin β ≈ 0,860 liefert am Taschenrechner β ≈ 59,4°. Der zweite Winkel mit demselben Sinus ist 180° − 59,4° ≈ 120,6°.
Ein Dreieck hat a = 50 cm, b = 52 cm, c = 34 cm und α = 67,38°. Berechne β mit dem Sinussatz (in Grad, auf 0,1° genau).
Erklärung: sin β = 52 · sin 67,38° / 50 ≈ 52 · 0,9231 / 50 ≈ 0,960, also β ≈ 73,7°.
Im selben Dreieck mit α = 67,38° und β ≈ 73,74° — wie groß ist γ (in Grad, auf 0,1° genau)?
Erklärung: γ = 180° − 67,38° − 73,74° ≈ 38,9°. Über die Winkelsumme geht es schneller als über einen zweiten Sinussatz.
Ein Dreieck hat a = 8 cm, b = 5 cm und α = 80°. Zeichne eine Skizze,
berechne β mit dem Sinussatz, prüfe ausdrücklich, ob der zweite
mögliche Winkel 180° − β hier ein Dreieck ergibt, und bestimme zum
Schluss γ.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Taschenrechner gibt bei sin⁻¹ nur den spitzen Winkel aus. Ob der stumpfe Partner auch passt, entscheidet die Winkelsumme — hier nicht, weil a länger ist als b.
Ergänze die nach sin β umgestellte Form des Sinussatzes: sin β = b · sin α / ___
Erklärung: Aus a / sin α = b / sin β folgt sin β = b · sin α / a. Im Nenner steht die Seite, deren Gegenwinkel bekannt ist.
Ergänze: In jedem Dreieck gilt α + β + γ = ___ °
Erklärung: 180°. Bei wsw ist das der erste Schritt — erst danach hat jede Seite ihren Gegenwinkel und der Sinussatz greift.
Ergänze den zweiten möglichen Winkel bei ssw: neben β passt oft auch 180° − ___
Erklärung: 180° − β hat denselben Sinus wie β. Ob dieser stumpfe Partner wirklich passt, entscheidet die Winkelsumme 180°.
Der Sinussatz gilt nur für spitzwinklige Dreiecke.
Erklärung: Falsch. Der Sinussatz gilt für alle Dreiecke — spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige.
In einem Dreieck ist α = 70° und β = 40°. Welche Seite ist länger?
Erklärung: Nach dem Sinussatz ist a/b = sin α / sin β. Wegen sin 70° > sin 40° ist a länger als b — der größere Winkel liegt der längeren Seite gegenüber.
In einem Dreieck mit α = β = 55° sind die Seiten a und b gleich lang.
Erklärung: Aus a/sin α = b/sin β mit sin α = sin β folgt a = b. Das ist das gleichschenklige Dreieck.
Aus a · sin β = b · sin α folgt a / sin α = b / sin β.
Erklärung: Beide Seiten durch sin α · sin β teilen — links bleibt a/sin α, rechts b/sin β. Genau so entsteht der Sinussatz aus der Höhengleichung.
In einem Dreieck mit γ = 130° gilt der Sinussatz nicht mehr.
Erklärung: Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck. Bei einem stumpfen Winkel fällt der Höhenfußpunkt zwar außerhalb der Seite, aber sin(180° − γ) = sin γ rettet die Gleichung.
Ergänze den dritten Bruch des Sinussatzes: a / sin α = b / sin β = ___
Erklärung: Jede Seite steht über dem Sinus ihres Gegenwinkels. Mit einer anderen Höhe zeigt man genauso, dass auch c/sin γ denselben Wert hat.
Berechne den Wert des Bruchs a / sin α für a = 8 cm und α = 40° (auf 0,1 genau).
Erklärung: 8 / sin 40° ≈ 8 / 0,643 ≈ 12,4. Dieser Wert ist für alle drei Brüche desselben Dreiecks gleich.
In einem Dreieck ist a = 6 cm, sin α = 0,5 und sin β = 0,8. Berechne b (in cm).
Erklärung: a/sin α = b/sin β, also b = a · sin β / sin α = 6 cm · 0,8 / 0,5 = 9,6 cm.
Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck ABC und die Höhe h_c von C auf
die Seite c. Drücke h_c in beiden rechtwinkligen Teildreiecken aus,
setze die beiden Ausdrücke gleich und forme zu a / sin α = b / sin β
um.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Höhe ist die gemeinsame Größe der beiden Teildreiecke. Zwei Ausdrücke für dasselbe Stück gleichzusetzen ist der ganze Beweis — mit den anderen Höhen kommt der dritte Bruch dazu.
Ein Dreieck hat α = 48° und β = 77°. Wie groß ist γ (in Grad)?
γ = 180° − 48° − 77° = 55°.
Ein Dreieck hat a = 10 cm, α = 40° und β = 65°. Berechne b (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Die Sinuswerte sind vertauscht: b steht gegenüber β, also sin β in den Zähler.
Sinussatz: b / sin β = a / sin α, also b = a · sin β / sin α = 10 · sin 65° / sin 40° ≈ 14,1 cm.
Ein Dreieck hat a = 7 cm, α = 50° und β = 75°. Berechne b (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Die Sinuswerte sind vertauscht: b steht gegenüber β, also sin β in den Zähler.
Sinussatz: b / sin β = a / sin α, also b = a · sin β / sin α = 7 · sin 75° / sin 50° ≈ 8,8 cm.
Ein Dreieck hat a = 9 cm, b = 6 cm und α = 70°. Berechne β (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
sin β = b · sin α / a = 6 · sin 70° / 9 ≈ 0,626, also β ≈ 38,8°. Da a > b ist, ist β < α: nur diese Lösung.
Ein Dreieck hat a = 11 cm, b = 7 cm und α = 65°. Berechne β (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
sin β = b · sin α / a = 7 · sin 65° / 11 ≈ 0,577, also β ≈ 35,2°. Da a > b ist, ist β < α: nur diese Lösung.
Ein Dreieck hat α = 35°, β = 75° und c = 12 cm. Berechne a (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Gegenüber von c liegt γ, nicht β. Rechne erst γ = 70° aus.
Erst γ = 180° − 35° − 75° = 70°. Dann a = c · sin α / sin γ = 12 · sin 35° / sin 70° ≈ 7,3 cm.
Ein Dreieck hat α = 40°, β = 85° und c = 11 cm. Berechne a (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Gegenüber von c liegt γ, nicht β. Rechne erst γ = 55° aus.
Erst γ = 180° − 40° − 85° = 55°. Dann a = c · sin α / sin γ = 11 · sin 40° / sin 55° ≈ 8,6 cm.