Anwendung des Sinussatzes

Applying the Law of Sines

Mathematik Klasse 9 32 Aufgaben

GeometrieTrigonometrieSinussatz

Der Sinussatz greift, sobald ein Paar aus Seite und Gegenwinkel bekannt ist (wsw, sww, ssw) — und die eigentliche Entscheidung ist, ob er oder der Kosinussatz passt. Im ssw-Fall trägt er die Mehrdeutigkeit sin α = sin(180° − α): der Taschenrechner gibt nur den spitzen Winkel aus, der stumpfe ist genauso möglich, und welcher gemeint ist, entscheidet die 180°-Winkelsumme. Räumt genau die Fehlerquelle aus, die der LehrplanPLUS M9 7.2 benennt — das Rechner-Ergebnis ungeprüft als Antwort zu nehmen.

Sind zwei Winkel und die dazwischen liegende Seite bekannt (Kürzel WSW), liefert der Sinussatz direkt jede fehlende Seite.

Beispiel: Gegeben $α = 60°$ , $β = 70°$ , $c = 7$ . Gesucht: a.

Zuerst den dritten Winkel ergänzen:

$γ = 180° - 60° - 70° = 50°$

Dann mit dem Sinussatz $\frac{a}{sin α} = \frac{c}{sin γ}$ :

$a = \frac{c \cdot sin α}{sin γ} = \frac{7 \cdot sin 60°}{sin 50°} \approx \frac{7 \cdot 0 , 866}{0 , 766} \approx 7, 91$

Gegeben sind

c

α

und

β

. Rechne

a

selbst aus: Zeigt die Figur denselben Wert?

Zwei Seiten und ein Gegenwinkel (SSW)

Sind zwei Seiten und der Winkel gegenüber einer von ihnen gegeben — etwa $a$ , $b$ und $α$ —, liefert der Sinussatz zuerst einen Winkel:

$sin β = \frac{b \cdot sin α}{a}$

Mit $α = 40°$ , $b = 6$ , $a = 4, 5$ : $sin β = 6 \cdot sin 40°/4, 5 \approx 0, 857$ , und der Taschenrechner meldet $β_{1} \approx 59, 0°$ . Hier steckt die Falle dieses Falls: Den gleichen Sinus hat auch der stumpfe Winkel $β_{2} = 180° - β_{1} \approx 121, 0°$ — das kennst du vom Einheitskreis. Beide passen: Der Kreis um $C$ mit Radius $a$ schneidet den Schenkel von $α$ zweimal.

Gegeben sind

α = 40°

b = 6

und

a

. Der gestrichelte Kreisbogen um

C

trifft den Schenkel in

B_{1}

und

B_{2}

— zwei Dreiecke aus derselben Angabe. Schieb

a

β_{1} + β_{2}

bleibt

180°

Welche Lösung gilt, entscheidet die Winkelsumme: Mit $β_{2}$ muss $α + β_{2}$ unter $180°$ bleiben — hier $40° + 121° = 161°$ , also gibt es wirklich zwei Dreiecke. Liegt dem gegebenen Winkel die längere der beiden Seiten gegenüber ( $a \geq b$ ), ist $β$ kleiner als $α$ und damit spitz: dann gibt es nur ein Dreieck.

Voraussetzungen (1)

Das dritte Verhältnis

Klasse 9

›

Ermöglicht (2)

Sinus- und Kosinussatz

Klasse 9

›

Sinussatz anwenden — SWW, fehlende Seite

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 40s ▶ Testen

Gegeben sind a = 8 cm, b = 5 cm und α = 80°; gesucht ist β. Welche Umformung des Sinussatzes passt?

● sin β = b · sin α / a
○ sin β = a · sin α / b
○ sin β = a · b / sin α

Aus a/sin α = b/sin β folgt a · sin β = b · sin α und damit sin β = b · sin α / a. Die zweite Form vertauscht a und b — sie ergäbe hier einen Wert über 1.

Multiple Choice #2 50s ▶ Testen

In einem Dreieck sind a = 6 cm, b = 9 cm und α = 35° gegeben. Wie viele verschiedene Dreiecke passen dazu?

● zwei
○ genau eines
○ keines

sin β = 9 · sin 35° / 6 ≈ 0,860 hat zwei Lösungen zwischen 0° und 180° — β ≈ 59,4° und β ≈ 120,6°. Beide ergeben mit α = 35° eine Winkelsumme unter 180°, also sind beide Dreiecke möglich.

Wahr / Falsch #3 40s ▶ Testen

Für a = 8 cm, b = 5 cm und α = 80° gibt es genau ein Dreieck.

✓ Wahr

Die gegebene Seite a liegt dem gegebenen Winkel gegenüber und ist länger als b. Der zweite Wert 180° − 38,0° = 142,0° ergäbe mit α = 80° schon über 180° — er scheidet aus.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

In einem Dreieck ist α = 80° und β = 38°. Wie groß ist γ?

● 62°
○ 58°
○ 118°

γ = 180° − 80° − 38° = 62°. Die 118° entstehen, wenn man nur α abzieht.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der Sinussatz gilt nur für spitzwinklige Dreiecke.

✓ Falsch

Falsch. Der Sinussatz gilt für alle Dreiecke — spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige.

Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

In einem Dreieck ist α = 70° und β = 40°. Welche Seite ist länger?

● a
○ b
○ beide sind gleich lang

Nach dem Sinussatz ist a/b = sin α / sin β. Wegen sin 70° > sin 40° ist a länger als b — der größere Winkel liegt der längeren Seite gegenüber.

Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

In einem Dreieck mit α = β = 55° sind die Seiten a und b gleich lang.

✓ Wahr

Aus a/sin α = b/sin β mit sin α = sin β folgt a = b. Das ist das gleichschenklige Dreieck.

Wahr / Falsch #8 25s ▶ Testen

Aus a · sin β = b · sin α folgt a / sin α = b / sin β.

✓ Wahr

Beide Seiten durch sin α · sin β teilen — links bleibt a/sin α, rechts b/sin β. Genau so entsteht der Sinussatz aus der Höhengleichung.

Wahr / Falsch #9 30s ▶ Testen

In einem Dreieck mit γ = 130° gilt der Sinussatz nicht mehr.

✓ Falsch

Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck. Bei einem stumpfen Winkel fällt der Höhenfußpunkt zwar außerhalb der Seite, aber sin(180° − γ) = sin γ rettet die Gleichung.

Mittel

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Gegeben: a = 10, b = 7, γ = 50°. Welcher Satz ist am besten geeignet?

○ Sinussatz
● Kosinussatz
○ Satz des Pythagoras
○ Strahlensatz

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben — das ist der typische Anwendungsfall des Kosinussatzes.

Lückentext #2 25s ▶ Testen

Ergänze die nach sin β umgestellte Form des Sinussatzes: sin β = b · sin α / ___

✓ Antwort: a

Aus a / sin α = b / sin β folgt sin β = b · sin α / a. Im Nenner steht die Seite, deren Gegenwinkel bekannt ist.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: In jedem Dreieck gilt α + β + γ = ___ °

✓ Antwort: 180

180°. Bei wsw ist das der erste Schritt — erst danach hat jede Seite ihren Gegenwinkel und der Sinussatz greift.

Lückentext #4 25s ▶ Testen

Ergänze den zweiten möglichen Winkel bei ssw: neben β passt oft auch 180° − ___

✓ Antwort: β

180° − β hat denselben Sinus wie β. Ob dieser stumpfe Partner wirklich passt, entscheidet die Winkelsumme 180°.

Lückentext #5 20s ▶ Testen

Ergänze den dritten Bruch des Sinussatzes: a / sin α = b / sin β = ___

✓ Antwort: c / sin γ

Jede Seite steht über dem Sinus ihres Gegenwinkels. Mit einer anderen Höhe zeigt man genauso, dass auch c/sin γ denselben Wert hat.

Zahleneingabe #6 20s ▶ Testen

Ein Dreieck hat α = 48° und β = 77°. Wie groß ist γ (in Grad)?

✓ Antwort: 55

Zahleneingabe #7 60s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 10 cm, α = 40° und β = 65°. Berechne b (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 14.1

Zahleneingabe #8 60s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 7 cm, α = 50° und β = 75°. Berechne b (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 8.8

Zahleneingabe #9 60s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 9 cm, b = 6 cm und α = 70°. Berechne β (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 38.8

Zahleneingabe #10 60s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 11 cm, b = 7 cm und α = 65°. Berechne β (in Grad). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 35.2

Zahleneingabe #11 75s ▶ Testen

Ein Dreieck hat α = 35°, β = 75° und c = 12 cm. Berechne a (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 7.3

Zahleneingabe #12 75s ▶ Testen

Ein Dreieck hat α = 40°, β = 85° und c = 11 cm. Berechne a (in cm). Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

✓ Antwort: 8.6

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Sinussatz: a = 8, α = 30°, β = 45°. Berechne b. (sin 30° = 0,5; sin 45° ≈ 0,707. Gerundet auf 1 Dezimale)

✓ Antwort: 11.3

a / sin α = b / sin β → 8 / 0,5 = b / 0,707 → 16 = b / 0,707 → b = 16 · 0,707 ≈ 11,3.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Dreieck hat α = 40°, β = 60° und a = 12. Berechne b. (sin 40° ≈ 0,643; sin 60° ≈ 0,866. Gerundet auf 1 Dezimale)

✓ Antwort: 16.2

a / sin α = b / sin β → 12 / 0,643 = b / 0,866 → b = 12 · 0,866 / 0,643 ≈ 16,2.

Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 8 cm, b = 5 cm und α = 80°. Berechne β (in Grad, auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 38

sin β = 5 · sin 80° / 8 ≈ 4,924 / 8 ≈ 0,616, also β ≈ 38,0°.

Zahleneingabe #4 70s ▶ Testen

Ein Dreieck hat α = 50°, β = 70° und c = 8 cm. Berechne a (in cm, auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 7.1

γ = 180° − 50° − 70° = 60°. Aus a/sin α = c/sin γ folgt a = 8 cm · sin 50° / sin 60° ≈ 7,1 cm.

Zahleneingabe #5 70s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 6 cm, b = 9 cm und α = 35°. Berechne den stumpfen der beiden möglichen Winkel β (in Grad, auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 120.6

sin β ≈ 0,860 liefert am Taschenrechner β ≈ 59,4°. Der zweite Winkel mit demselben Sinus ist 180° − 59,4° ≈ 120,6°.

Zahleneingabe #6 70s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 50 cm, b = 52 cm, c = 34 cm und α = 67,38°. Berechne β mit dem Sinussatz (in Grad, auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 73.7

sin β = 52 · sin 67,38° / 50 ≈ 52 · 0,9231 / 50 ≈ 0,960, also β ≈ 73,7°.

Zahleneingabe #7 40s ▶ Testen

Im selben Dreieck mit α = 67,38° und β ≈ 73,74° — wie groß ist γ (in Grad, auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 38.9

γ = 180° − 67,38° − 73,74° ≈ 38,9°. Über die Winkelsumme geht es schneller als über einen zweiten Sinussatz.

KI-bewertete Rechnung #8 300s ▶ Testen

Ein Dreieck hat a = 8 cm, b = 5 cm und α = 80°. Zeichne eine Skizze, berechne β mit dem Sinussatz, prüfe ausdrücklich, ob der zweite mögliche Winkel 180° − β hier ein Dreieck ergibt, und bestimme zum Schluss γ. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: sin β = 5 · sin 80° / 8 ≈ 0,616, also β ≈ 38,0°. Der zweite Wert wäre 180° − 38,0° = 142,0°; zusammen mit α = 80° ergäbe das schon 222° und scheidet aus. Also γ = 180° − 80° − 38,0° ≈ 62,0°.

Der Taschenrechner gibt bei sin⁻¹ nur den spitzen Winkel aus. Ob der stumpfe Partner auch passt, entscheidet die Winkelsumme — hier nicht, weil a länger ist als b.

Zahleneingabe #9 30s ▶ Testen

Berechne den Wert des Bruchs a / sin α für a = 8 cm und α = 40° (auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 12.4

8 / sin 40° ≈ 8 / 0,643 ≈ 12,4. Dieser Wert ist für alle drei Brüche desselben Dreiecks gleich.

Zahleneingabe #10 35s ▶ Testen

In einem Dreieck ist a = 6 cm, sin α = 0,5 und sin β = 0,8. Berechne b (in cm).

✓ Antwort: 9.6

a/sin α = b/sin β, also b = a · sin β / sin α = 6 cm · 0,8 / 0,5 = 9,6 cm.

KI-bewertete Rechnung #11 300s ▶ Testen

Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck ABC und die Höhe h_c von C auf die Seite c. Drücke h_c in beiden rechtwinkligen Teildreiecken aus, setze die beiden Ausdrücke gleich und forme zu a / sin α = b / sin β um. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Im Teildreieck bei B ist h_c = a · sin β, im Teildreieck bei A ist h_c = b · sin α. Gleichsetzen ergibt a · sin β = b · sin α. Division durch sin α · sin β liefert a / sin α = b / sin β.

Die Höhe ist die gemeinsame Größe der beiden Teildreiecke. Zwei Ausdrücke für dasselbe Stück gleichzusetzen ist der ganze Beweis — mit den anderen Höhen kommt der dritte Bruch dazu.