Sinus- und Kosinussatz
Im Einheitskreis ist sin α für α zwischen 0° und 180°:
Erklärung: Für 0° < α < 180° liegt der Punkt auf dem Einheitskreis oberhalb der x-Achse, daher ist sin α > 0.
Welches Vorzeichen hat cos 150°?
Erklärung: 150° liegt im zweiten Quadranten (90°–180°). Dort ist die x-Koordinate negativ, also cos 150° < 0.
Berechne: sin 150°. (Als Dezimalzahl)
Erklärung: sin 150° = sin(180° − 150°) = sin 30° = 0,5.
Welches Vorzeichen hat sin 210°?
Erklärung: 210° liegt im dritten Quadranten (180°–270°). Dort ist sin α < 0.
Der Sinussatz lautet:
Erklärung: Im Sinussatz steht jede Seite im gleichen Verhältnis zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels.
Der Kosinussatz lautet:
Erklärung: Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras für beliebige Dreiecke.
Für γ = 90° wird der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras.
Erklärung: Richtig. cos 90° = 0, also c² = a² + b² − 2ab · 0 = a² + b². Das ist der Satz des Pythagoras.
Dreieck mit a = 5, b = 7, γ = 60°. Berechne c² (cos 60° = 0,5).
Erklärung: c² = 25 + 49 − 2·5·7·0,5 = 74 − 35 = 39.
Sinussatz: a = 8, α = 30°, β = 45°. Berechne b. (sin 30° = 0,5, sin 45° ≈ 0,707. Gerundet auf 1 Dezimale)
Erklärung: a/sin α = b/sin β → 8/0,5 = b/0,707 → 16 = b/0,707 → b = 16 · 0,707 ≈ 11,3.
In welchem Quadranten sind sowohl sin α als auch cos α negativ?
Erklärung: Im III. Quadranten ist der Punkt links unten auf dem Einheitskreis: x < 0 (cos < 0) und y < 0 (sin < 0).
Berechne: cos 180°.
Erklärung: Am Einheitskreis: Der Punkt bei 180° ist (−1|0). Also cos 180° = −1.
Berechne: sin 270°.
Erklärung: Am Einheitskreis: Der Punkt bei 270° ist (0|−1). Also sin 270° = −1.
Dreieck mit a = 6, b = 8, c = 10. Berechne cos γ mithilfe des Kosinussatzes. (Als Dezimalzahl)
Erklärung: c² = a² + b² − 2ab·cos γ → 100 = 36 + 64 − 96·cos γ → 100 = 100 − 96·cos γ → cos γ = 0. Also γ = 90°.
sin α = 0,5. Welche zwei Winkel zwischen 0° und 360° sind möglich?
Erklärung: sin 30° = 0,5 (I. Quadrant) und sin 150° = sin(180° − 30°) = 0,5 (II. Quadrant).
Der Sinussatz kann nur bei rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden.
Erklärung: Falsch. Der Sinussatz gilt für alle Dreiecke, nicht nur rechtwinklige.
Kosinussatz: Dreieck mit a = 4, b = 5, γ = 120°. Berechne c². (cos 120° = −0,5)
Erklärung: c² = 16 + 25 − 2·4·5·(−0,5) = 41 + 20 = 61.