Sinus- und Kosinussatz

Law of Sines and Law of Cosines

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben
GeometrieTrigonometrieSinussatzKosinussatz

Der Kosinussatz und der Sinussatz ermöglichen die Berechnung

beliebiger Dreiecke — nicht nur rechtwinkliger. Teste dein Wissen mit

den folgenden Aufgaben.

Voraussetzungen (2)

Anwendung des Sinussatzes
Klasse 9
›
Satz des Pythagoras
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Im Einheitskreis ist sin α für α zwischen 0° und 180°:

  • ○ Immer negativ
  • ● Immer positiv
  • ○ Erst positiv, dann negativ
  • ○ Immer null
Für 0° < α < 180° liegt der Punkt auf dem Einheitskreis oberhalb der x-Achse, daher ist sin α > 0.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat cos 150°?

  • ○ positiv
  • ● negativ
  • ○ null
  • ○ undefiniert
150° liegt im zweiten Quadranten (90°–180°). Dort ist die x-Koordinate negativ, also cos 150° < 0.
Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Berechne: sin 150°. (Als Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.5
sin 150° = sin(180° − 150°) = sin 30° = 0,5.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Der Sinussatz lautet:

  • ● a/sin α = b/sin β = c/sin γ
  • ○ a · sin α = b · sin β
  • ○ a² = b² + c² − 2bc · sin α
  • ○ sin α / a = cos β / b
Im Sinussatz steht jede Seite im gleichen Verhältnis zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels.
Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Der Kosinussatz lautet:

  • ● c² = a² + b² − 2ab · cos γ
  • ○ c² = a² + b² + 2ab · cos γ
  • ○ c = a + b − cos γ
  • ○ c² = a² − b² + 2ab · cos γ
Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras für beliebige Dreiecke.
Zahleneingabe #6 10s ▶ Testen

Berechne: cos 180°.

✓ Antwort: -1
Am Einheitskreis: Der Punkt bei 180° ist (−1|0). Also cos 180° = −1.
Zahleneingabe #7 10s ▶ Testen

Berechne: sin 270°.

✓ Antwort: -1
Am Einheitskreis: Der Punkt bei 270° ist (0|−1). Also sin 270° = −1.
Wahr / Falsch #8 10s ▶ Testen

Der Sinussatz kann nur bei rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden.

✓ Falsch
Falsch. Der Sinussatz gilt für alle Dreiecke, nicht nur rechtwinklige.
Mittel
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat sin 210°?

  • ○ positiv
  • ● negativ
  • ○ null
  • ○ undefiniert
210° liegt im dritten Quadranten (180°–270°). Dort ist sin α < 0.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für γ = 90° wird der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras.

✓ Wahr
Richtig. cos 90° = 0, also c² = a² + b² − 2ab · 0 = a² + b². Das ist der Satz des Pythagoras.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Dreieck mit a = 5, b = 7, γ = 60°. Berechne c² (cos 60° = 0,5).

✓ Antwort: 39
c² = 25 + 49 − 2·5·7·0,5 = 74 − 35 = 39.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Sinussatz: a = 8, α = 30°, β = 45°. Berechne b. (sin 30° = 0,5, sin 45° ≈ 0,707. Gerundet auf 1 Dezimale)

✓ Antwort: 11.3
a/sin α = b/sin β → 8/0,5 = b/0,707 → 16 = b/0,707 → b = 16 · 0,707 ≈ 11,3.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

In welchem Quadranten sind sowohl sin α als auch cos α negativ?

  • ○ I. Quadrant (0°–90°)
  • ○ II. Quadrant (90°–180°)
  • ● III. Quadrant (180°–270°)
  • ○ IV. Quadrant (270°–360°)
Im III. Quadranten ist der Punkt links unten auf dem Einheitskreis: x < 0 (cos < 0) und y < 0 (sin < 0).
Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Dreieck mit a = 6, b = 8, c = 10. Berechne cos γ mithilfe des Kosinussatzes. (Als Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0
c² = a² + b² − 2ab·cos γ → 100 = 36 + 64 − 96·cos γ → 100 = 100 − 96·cos γ → cos γ = 0. Also γ = 90°.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

sin α = 0,5. Welche zwei Winkel zwischen 0° und 360° sind möglich?

  • ● 30° und 150°
  • ○ 30° und 330°
  • ○ 60° und 120°
  • ○ 150° und 210°
sin 30° = 0,5 (I. Quadrant) und sin 150° = sin(180° − 30°) = 0,5 (II. Quadrant).
Zahleneingabe #8 25s ▶ Testen

Kosinussatz: Dreieck mit a = 4, b = 5, γ = 120°. Berechne c². (cos 120° = −0,5)

✓ Antwort: 61
c² = 16 + 25 − 2·4·5·(−0,5) = 41 + 20 = 61.