StrahlensÀtze
Was besagt der erste Strahlensatz?
ErklÀrung: Der 1. Strahlensatz beschreibt die ProportionalitÀt der Abschnitte auf den beiden Strahlen: ZA:ZB = ZC:ZD.
Erster Strahlensatz: Zwei Strahlen von Z werden von Parallelen in A, B bzw. C, D geschnitten. Es gilt: ZA : ZB = ZC : ___.
ErklÀrung: Die Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen.
Zwei Strahlen von Z werden von Parallelen geschnitten. Es ist ZA = 3 cm, ZB = 9 cm und ZC = 4 cm. Wie lang ist ZD (in cm)?
ErklĂ€rung: Nach dem 1. Strahlensatz: ZA/ZB = ZC/ZD. Also 3/9 = 4/ZD â ZD = 4 · 9/3 = 12 cm.
Erster Strahlensatz: ZA = 5 cm, AB = 3 cm, ZC = 7,5 cm. Berechne CD (in cm).
ErklĂ€rung: ZB = ZA + AB = 8 cm. ZA/ZB = ZC/ZD â 5/8 = 7,5/ZD â ZD = 12 cm. CD = ZD - ZC = 12 - 7,5 = 4,5 cm.
Was besagt der zweite Strahlensatz?
ErklÀrung: 2. Strahlensatz: AC:BD = ZA:ZB = ZC:ZD.
Zweiter Strahlensatz: ZA = 4 cm, ZB = 10 cm. Die Parallelstrecke AC = 6 cm. Wie lang ist BD (in cm)?
ErklĂ€rung: AC/BD = ZA/ZB. Also 6/BD = 4/10 â BD = 6 · 10/4 = 15 cm.
Ein 1,80 m groĂer Mensch steht 6 m von einer Laterne entfernt. Sein Schatten ist 3 m lang. Wie hoch ist die Laterne (in m)?
ErklĂ€rung: Strahlensatz: Höhe/KörpergröĂe = (Abstand + Schatten)/Schatten. H/1,8 = (6+3)/3 = 3. H = 1,8 · 3 = 5,4 m.
Um die Breite eines Flusses zu messen, peilt man von einem Punkt Z aus zwei Punkte A und B am anderen Ufer an. Auf der eigenen Seite misst man: ZC = 8 m, ZD = 12 m, CD = 5 m. Es gilt AB â„ CD. Wie breit ist der Fluss (AB in m), wenn ZA = 24 m?
ErklÀrung: 2. Strahlensatz: AB/CD = ZA/ZC. AB/5 = 24/8 = 3. AB = 15 m.
Der erste Strahlensatz ist eine direkte Folgerung aus der zentrischen Streckung.
ErklÀrung: Richtig. Werden die Schnittpunkte durch eine zentrische Streckung mit Zentrum Z aufeinander abgebildet, so folgt die ProportionalitÀt der Abschnitte.
Strahlensatz: ZA = 6, AB = 4, ZC = 9. Berechne ZD.
ErklĂ€rung: ZB = ZA + AB = 10. ZA/ZB = ZC/ZD â 6/10 = 9/ZD â ZD = 9 · 10/6 = 15.
Ein Stock von 1 m LĂ€nge wirft einen Schatten von 0,8 m. Ein Baum wirft gleichzeitig einen Schatten von 6 m. Wie hoch ist der Baum?
ErklÀrung: Strahlensatz: Baumhöhe/1 = 6/0,8. Baumhöhe = 6/0,8 = 7,5 m.
Auf einer Landkarte betrÀgt die Strecke zwischen A und B 4,5 cm. Zwischen C und D (parallel zu AB auf der Karte) sind es 3 cm. Im GelÀnde ist CD = 600 m. Wie lang ist AB im GelÀnde (in m)?
ErklÀrung: AB/CD = 4,5/3 = 1,5. AB = 1,5 · 600 = 900 m.
Zwei Parallelen schneiden zwei Strahlen von Z. Auf dem einen Strahl: ZA = 2, ZB = 5. Auf dem anderen: ZC = 3. Dann ist CD = ___.
ErklĂ€rung: ZA/ZB = ZC/ZD â 2/5 = 3/ZD â ZD = 7,5. CD = ZD - ZC = 7,5 - 3 = 4,5.
Der Strahlensatz gilt nur, wenn die parallelen Geraden senkrecht auf den Strahlen stehen.
ErklĂ€rung: Falsch. Die parallelen Geraden dĂŒrfen in beliebigem Winkel die Strahlen schneiden.
Zwei Strahlen von Z werden von Parallelen geschnitten. Es ist ZA = 8 cm, ZB = 20 cm und ZD = 15 cm. Wie lang ist ZC (in cm)?
ErklĂ€rung: Nach dem 1. Strahlensatz: ZA/ZB = ZC/ZD. Also 8/20 = ZC/15 â ZC = 15 · 8/20 = 6 cm. Der Streckfaktor von der inneren zur Ă€uĂeren Parallele ist 20/8 = 2,5 â er gilt auf beiden Strahlen.
Ein Turm ist von einem Standort 60 m entfernt. Man hÀlt einen 30 cm langen Stab in 50 cm Entfernung vom Auge und peilt den Turm an. Der Stab verdeckt den Turm genau. Wie hoch ist der Turm (in m)?
ErklÀrung: Strahlensatz: Turmhöhe/0,3 = 60/0,5. Turmhöhe = 0,3 · 120 = 36 m.
In einem Dreieck ABC ist DE â„ BC mit D auf AB und E auf AC. Es gilt AD = 3, DB = 6, AE = 4. Wie lang ist EC?
ErklĂ€rung: Strahlensatz: AD/DB = AE/EC â 3/6 = 4/EC â EC = 8.
Zwei Strahlen von Z, Parallelen in A,C und B,D. ZA = 10, AB = 5, ZC = 8. Berechne CD.
ErklĂ€rung: ZB = 15. ZA/ZB = ZC/ZD â 10/15 = 8/ZD â ZD = 12. CD = 12 - 8 = 4.
Die Mittellinie eines Dreiecks verbindet die Mitten zweier Seiten. Ist die Grundseite 14 cm lang, wie lang ist die Mittellinie (in cm)?
ErklÀrung: Die Mittellinie ist parallel zur Grundseite und halb so lang (folgt aus dem Strahlensatz mit k = 0,5). Also 14/2 = 7 cm.
Im Dreieck ABC ist DE â„ BC mit D auf AB und E auf AC. Es gilt AD : DB = 2 : 3. Dann gilt auch AE : EC = 2 : 3.
ErklĂ€rung: Richtig. Nach dem 1. Strahlensatz ist AD : AB = AE : AC = 2 : 5, und daraus folgt AD : DB = AE : EC = 2 : 3. FĂŒr die Parallelstrecken gilt das nicht: DE : BC = 2 : 5, nicht 2 : 3.