Strahlensätze
Intercept Theorems
Das Kind liest an zwei von Z ausgehenden Strahlen, die von zwei Parallelen geschnitten werden, die Streckfaktor-Beziehung ab: Der erste Strahlensatz vergleicht Abschnitte auf den Strahlen (ZA : ZB = ZC : ZD), der zweite die Parallelstrecken mit den Abschnitten ab Z (AC : BD = ZA : ZB). Beide werden als Folge der zentrischen Streckung hergeleitet, nicht als zwei neue Regeln (Weigand et al. 2018, Didaktik der Geometrie). Der typische Fehler ist, beim zweiten Satz Teilstrecken wie AB statt der ganzen Strecke ab Z einzusetzen. Bereitet indirekte Höhen- und Breitenmessung (Schatten, Daumensprung, Fluss) und die Ähnlichkeitsrechnung an Körpern vor.
Voraussetzungen (1)
Was besagt der erste Strahlensatz?
Erster Strahlensatz: Zwei Strahlen von Z werden von Parallelen in A, B bzw. C, D geschnitten. Es gilt: ZA : ZB = ZC : ___.
Zwei Strahlen von Z werden von Parallelen geschnitten. Es ist ZA = 3 cm, ZB = 9 cm und ZC = 4 cm. Wie lang ist ZD (in cm)?
Was besagt der zweite Strahlensatz?
Der Strahlensatz gilt nur, wenn die parallelen Geraden senkrecht auf den Strahlen stehen.
Erster Strahlensatz: ZA = 5 cm, AB = 3 cm, ZC = 7,5 cm. Berechne CD (in cm).
Zweiter Strahlensatz: ZA = 4 cm, ZB = 10 cm. Die Parallelstrecke AC = 6 cm. Wie lang ist BD (in cm)?
Ein 1,80 m großer Mensch steht 6 m von einer Laterne entfernt. Sein Schatten ist 3 m lang. Wie hoch ist die Laterne (in m)?
Um die Breite eines Flusses zu messen, peilt man von einem Punkt Z aus zwei Punkte A und B am anderen Ufer an. Auf der eigenen Seite misst man: ZC = 8 m, ZD = 12 m, CD = 5 m. Es gilt AB ∥ CD. Wie breit ist der Fluss (AB in m), wenn ZA = 24 m?
Der erste Strahlensatz ist eine direkte Folgerung aus der zentrischen Streckung.
Strahlensatz: ZA = 6, AB = 4, ZC = 9. Berechne ZD.
Ein Stock von 1 m Länge wirft einen Schatten von 0,8 m. Ein Baum wirft gleichzeitig einen Schatten von 6 m. Wie hoch ist der Baum?
Auf einer Landkarte beträgt die Strecke zwischen A und B 4,5 cm. Zwischen C und D (parallel zu AB auf der Karte) sind es 3 cm. Im Gelände ist CD = 600 m. Wie lang ist AB im Gelände (in m)?
Zwei Parallelen schneiden zwei Strahlen von Z. Auf dem einen Strahl: ZA = 2, ZB = 5. Auf dem anderen: ZC = 3. Dann ist CD = ___.
Zwei Strahlen von Z werden von Parallelen geschnitten. Es ist ZA = 8 cm, ZB = 20 cm und ZD = 15 cm. Wie lang ist ZC (in cm)?
In einem Dreieck ABC ist DE ∥ BC mit D auf AB und E auf AC. Es gilt AD = 3, DB = 6, AE = 4. Wie lang ist EC?
Zwei Strahlen von Z, Parallelen in A,C und B,D. ZA = 10, AB = 5, ZC = 8. Berechne CD.
Die Mittellinie eines Dreiecks verbindet die Mitten zweier Seiten. Ist die Grundseite 14 cm lang, wie lang ist die Mittellinie (in cm)?
Im Dreieck ABC ist DE ∥ BC mit D auf AB und E auf AC. Es gilt AD : DB = 2 : 3. Dann gilt auch AE : EC = 2 : 3.
Ein Turm ist von einem Standort 60 m entfernt. Man hält einen 30 cm langen Stab in 50 cm Entfernung vom Auge und peilt den Turm an. Der Stab verdeckt den Turm genau. Wie hoch ist der Turm (in m)?