Alle drei Verhältnisse zusammen
Für jeden spitzen Winkel α gilt: sin²α + cos²α = 1.
Erklärung: Richtig. Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras: (a/c)² + (b/c)² = (a² + b²)/c² = c²/c² = 1.
sin α = 0,6. Berechne cos α mithilfe von sin²α + cos²α = 1. (Als Dezimalzahl)
Erklärung: cos²α = 1 − sin²α = 1 − 0,36 = 0,64. Also cos α = √0,64 = 0,8.
Welcher Wert ist gleich cos 35°?
Erklärung: Die Komplementärwinkelbeziehung: cos α = sin(90° − α). Also cos 35° = sin(90° − 35°) = sin 55°.
Ein 10 m langes Seil einer Materialseilbahn steigt unter 40° an. Gesucht ist der waagrechte Abstand der beiden Masten. Welche Gleichung passt?
Erklärung: Der waagrechte Abstand liegt am Winkel an, das Seil ist die Hypotenuse — Ankathete durch Hypotenuse, also der Kosinus. b ≈ 7,7 m.
Eine Rampe überwindet 4 m Höhe auf 9 m waagrechter Strecke. Gesucht ist der Steigungswinkel α. Welche Gleichung passt?
Erklärung: Höhe und waagrechte Strecke sind beide Katheten — Gegenkathete durch Ankathete, also der Tangens. α ≈ 24,0°.
Eine 11 m lange Rutsche endet 6 m unterhalb ihres Startpunktes. Gesucht ist der Neigungswinkel α. Welche Gleichung passt?
Erklärung: Die Rutsche ist die Hypotenuse, der Höhenunterschied die Gegenkathete — also der Sinus. α ≈ 33,1°.
cos 35° und sin 55° haben denselben Wert.
Erklärung: Es gilt cos α = sin(90° − α). Im selben Dreieck ist die Ankathete von 35° zugleich die Gegenkathete von 55°.
Für welchen spitzen Winkel α sind sin α und cos α gleich groß?
Erklärung: Bei 45° sind Gegen- und Ankathete gleich lang, also auch sin α und cos α (beide ≈ 0,707). Bei 30° ist sin α = 0,5 und cos α ≈ 0,87.
Für einen spitzen Winkel α ist cos α = 0,28. Berechne sin α (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: sin²α = 1 − 0,28² = 1 − 0,0784 = 0,9216, also sin α = √0,9216 = 0,96.
Für einen spitzen Winkel α ist sin α = 0,28 und cos α = 0,96. Berechne tan α (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: tan α = sin α / cos α = 0,28 / 0,96 ≈ 0,29.
In einem rechtwinkligen Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm ist sin α = 0,6 und cos α = 0,8. Berechne sin²α + cos²α.
Erklärung: 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1. Das ist der Satz des Pythagoras, durch c² geteilt.
Ergänze so, dass die Gleichung stimmt: cos 18° = sin ___
Erklärung: cos α = sin(90° − α), also cos 18° = sin 72°.
Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt a = 9 cm, b = 12 cm, c = 15 cm. Berechne tan α (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: tan α = a/b = 9/12 = 0,75. Probe über den Quotienten — sin α = 9/15 = 0,6 und cos α = 12/15 = 0,8, also 0,6/0,8 = 0,75.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist sin α = 0,6. Berechne α in Grad (auf 0,1° genau).
Erklärung: α = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,9°. Das ist der kleinere spitze Winkel im 3-4-5-Dreieck.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 3 cm und 4 cm und die
Hypotenuse 5 cm. Bestimme sin α und cos α für den Winkel α, der der
3-cm-Seite gegenüberliegt, und zeige durch Rechnung, dass
sin²α + cos²α = 1 gilt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der trigonometrische Pythagoras ist nichts anderes als a² + b² = c², geteilt durch c². Am 3-4-5-Dreieck lässt sich das in zwei Zeilen nachrechnen.
Ein Förderband ist 11 m lang und überwindet 6 m Höhe. Entscheide
zuerst, welches der drei Verhältnisse Gegebenes und Gesuchtes
verbindet, schreibe die Gleichung auf, berechne den Neigungswinkel
und danach die waagrechte Strecke am Boden.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Gegeben sind Hypotenuse und Gegenkathete — das ist der Sinus. Der zweite Schritt ist frei wählbar, Kosinus und Pythagoras führen zum selben Wert ≈ 9,2 m.
Gegeben sind Hypotenuse und Winkel, gesucht ist die Gegenkathete. Das passende Verhältnis heißt: ___
Erklärung: Sinus — sin α = Gegenkathete / Hypotenuse verbindet genau diese drei Größen.
Gegeben sind beide Katheten, gesucht ist der Winkel. Das passende Verhältnis heißt: ___
Erklärung: Tangens — tan α = Gegenkathete / Ankathete kommt ohne die Hypotenuse aus, und die ist hier auch nicht gegeben.
Ein 15 m langes Seil ist am Boden 12 m vom Mastfuß entfernt verankert. Welchen Winkel schließt es mit dem Boden ein (in Grad, auf 0,1° genau)?
Erklärung: Gegeben sind Hypotenuse (15 m) und Ankathete (12 m), also der Kosinus cos α = 12/15 = 0,8 und α = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,9°.
Es ist cos 63° ≈ 0,454. Wie groß ist sin 27° (auf drei Nachkommastellen)?
Erklärung: 27° = 90° − 63°, also sin 27° = cos 63° ≈ 0,454. Der Taschenrechner wird hier gar nicht gebraucht.
Für einen spitzen Winkel α gilt sin α = cos 26°. Berechne α (in Grad).
Erklärung: cos 26° = sin(90° − 26°) = sin 64°, also α = 64°.
Für einen spitzen Winkel ist sin α = 0,6 und cos α = 0,8. Welcher Wert ist tan α?
Erklärung: tan α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 0,75. Die 1,33 ist der Kehrwert (cos durch sin), die 0,48 das Produkt.
tan α = cos α / sin α.
Erklärung: Umgekehrt. tan α = sin α / cos α — im Zähler steht die Gegenkathete, im Nenner die Ankathete, und genau diese Reihenfolge hat der Quotient.
Ergänze: tan α = sin α / ___
Erklärung: tan α = sin α / cos α. Die Hypotenuse kürzt sich aus den beiden Verhältnissen heraus.
Für einen spitzen Winkel ist sin α = 0,5 und cos α ≈ 0,866. Berechne tan α (auf zwei Nachkommastellen).
Erklärung: tan α = 0,5 / 0,866 ≈ 0,58. Das ist der Tangens von 30°.