Alle drei Verhältnisse zusammen

All Three Ratios Together

Mathematik Klasse 9 25 Aufgaben

GeometrieTrigonometrie

Drei Verhältnisse, und die eigentliche Arbeit ist die Auswahl: welches passt zu dem, was gegeben und gesucht ist. Dazu kommen die beiden Beziehungen, die sie verbinden — sin²α + cos²α = 1 (der Satz des Pythagoras, durch die Hypotenuse geteilt) und tan α = sin α / cos α — sowie die Komplementärbeziehung cos α = sin(90° − α). Räumt die Fehlvorstellung aus, trigonometrische Funktionen seien linear (sin(a + b) = sin a + sin b). Trägt die Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck und den ganzen Einheitskreis.

Die drei Verhältnisse nebeneinander:

$sin α = \frac{a}{c}$ (Gegenkathete / Hypotenuse)
$cos α = \frac{b}{c}$ (Ankathete / Hypotenuse)
$tan α = \frac{a}{b}$ (Gegenkathete / Ankathete)

Welches der drei du brauchst, entscheiden die zwei Seiten, die im Spiel sind: die gegebene und die gesuchte. Gegenkathete und Hypotenuse — Sinus. Ankathete und Hypotenuse — Kosinus. Die beiden Katheten — Tangens.

Lies bei 37⁠° sin α und cos α ab und quadriere beide: Was ergibt die Summe? Vergleiche dann cos α mit sin β — auch wenn du α bewegst.

Bei 37⁠°, fast genau im 3-4-5-Dreieck, sind die Quadrate $0, 6 0^{2} = 0, 36$ und $0, 8 0^{2} = 0, 64$ — zusammen 1. Das ist der Satz des Pythagoras, $9 + 16 = 25$ , durch 25 geteilt: $\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^{2}$ ist das Quadrat des Sinus, $\frac{16}{25} = (\frac{4}{5})^{2}$ das Quadrat des Kosinus.

Für $(sin α)^{2}$ schreibt man kurz $sin^{2} α$ , gelesen „⁠Sinus Quadrat Alpha“: erst den Sinus nehmen, dann quadrieren — das Quadrat gehört zum Wert, nicht zum Winkel. Mit Buchstaben teilt man $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ durch $c^{2}$ und erhält $(a / c)^{2} + (b / c)^{2} = 1$ , den Zusammenhang 1:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Zusammenhang 2 verbindet den Tangens mit den beiden anderen. Teilt man $sin α$ durch $cos α$ , multipliziert man mit dem Kehrbruch, und die Hypotenuse kürzt sich heraus: $(a / c) : (b / c) = a / c \cdot c / b = a / b$ . Der Tangens ist also der Quotient aus Sinus und Kosinus:

tan α = \frac{sin α}{cos α}

Zusammenhang 3 verbindet α mit dem zweiten spitzen Winkel. In der Figur heißt er β: Die Winkelsumme lässt neben dem rechten Winkel nur $β = 90° - α$ übrig. Die Seite b, die an α anliegt, liegt β gegenüber — die Ankathete von α ist die Gegenkathete von β:

cos α = sin (90° - α)

Voraussetzungen (1)

Der Tangens

Klasse 9

›

Ermöglicht (4)

Anwendungen am rechtwinkligen Dreieck

Klasse 9

›

Ein Punkt auf dem Einheitskreis

Klasse 10

›

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Klasse 10

›

Sinussatz und Kosinussatz

Klasse 9

›

Leicht

Wahr / Falsch #1 15s ▶ Testen

Für jeden spitzen Winkel α gilt: sin²α + cos²α = 1.

✓ Wahr

Richtig. Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras: (a/c)² + (b/c)² = (a² + b²)/c² = c²/c² = 1.

Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Welcher Wert ist gleich cos 35°?

○ sin 35°
● sin 55°
○ sin 65°
○ sin 145°

Die Komplementärwinkelbeziehung: cos α = sin(90° − α). Also cos 35° = sin(90° − 35°) = sin 55°.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Ein 10 m langes Seil einer Materialseilbahn steigt unter 40° an. Gesucht ist der waagrechte Abstand der beiden Masten. Welche Gleichung passt?

● cos 40° = b/10 m
○ sin 40° = b/10 m
○ tan 40° = b/10 m

Der waagrechte Abstand liegt am Winkel an, das Seil ist die Hypotenuse — Ankathete durch Hypotenuse, also der Kosinus. b ≈ 7,7 m.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Eine Rampe überwindet 4 m Höhe auf 9 m waagrechter Strecke. Gesucht ist der Steigungswinkel α. Welche Gleichung passt?

● tan α = 4/9
○ sin α = 4/9
○ cos α = 4/9

Höhe und waagrechte Strecke sind beide Katheten — Gegenkathete durch Ankathete, also der Tangens. α ≈ 24,0°.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Eine 11 m lange Rutsche endet 6 m unterhalb ihres Startpunktes. Gesucht ist der Neigungswinkel α. Welche Gleichung passt?

● sin α = 6/11
○ cos α = 6/11
○ tan α = 6/11

Die Rutsche ist die Hypotenuse, der Höhenunterschied die Gegenkathete — also der Sinus. α ≈ 33,1°.

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

cos 35° und sin 55° haben denselben Wert.

✓ Wahr

Es gilt cos α = sin(90° − α). Im selben Dreieck ist die Ankathete von 35° zugleich die Gegenkathete von 55°.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Für welchen spitzen Winkel α sind sin α und cos α gleich groß?

● 45°
○ 30°
○ 60°

Bei 45° sind Gegen- und Ankathete gleich lang, also auch sin α und cos α (beide ≈ 0,707). Bei 30° ist sin α = 0,5 und cos α ≈ 0,87.

Zahleneingabe #8 25s ▶ Testen

In einem rechtwinkligen Dreieck ist sin α = 0,6. Berechne α in Grad (auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 36.9

α = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,9°. Das ist der kleinere spitze Winkel im 3-4-5-Dreieck.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Für einen spitzen Winkel ist sin α = 0,6 und cos α = 0,8. Welcher Wert ist tan α?

● 0,75
○ 1,33
○ 0,48

tan α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 0,75. Die 1,33 ist der Kehrwert (cos durch sin), die 0,48 das Produkt.

Wahr / Falsch #10 20s ▶ Testen

tan α = cos α / sin α.

✓ Falsch

Umgekehrt. tan α = sin α / cos α — im Zähler steht die Gegenkathete, im Nenner die Ankathete, und genau diese Reihenfolge hat der Quotient.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

In einem rechtwinkligen Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm ist sin α = 0,6 und cos α = 0,8. Berechne sin²α + cos²α.

✓ Antwort: 1

0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1. Das ist der Satz des Pythagoras, durch c² geteilt.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze so, dass die Gleichung stimmt: cos 18° = sin ___

✓ Antwort: 72°

cos α = sin(90° − α), also cos 18° = sin 72°.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Gegeben sind Hypotenuse und Winkel, gesucht ist die Gegenkathete. Das passende Verhältnis heißt: ___

✓ Antwort: Sinus

Sinus — sin α = Gegenkathete / Hypotenuse verbindet genau diese drei Größen.

Lückentext #4 20s ▶ Testen

Gegeben sind beide Katheten, gesucht ist der Winkel. Das passende Verhältnis heißt: ___

✓ Antwort: Tangens

Tangens — tan α = Gegenkathete / Ankathete kommt ohne die Hypotenuse aus, und die ist hier auch nicht gegeben.

Lückentext #5 20s ▶ Testen

Ergänze: tan α = sin α / ___

✓ Antwort: cos α

tan α = sin α / cos α. Die Hypotenuse kürzt sich aus den beiden Verhältnissen heraus.

Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Für einen spitzen Winkel ist sin α = 0,5 und cos α ≈ 0,866. Berechne tan α (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.58

tan α = 0,5 / 0,866 ≈ 0,58. Das ist der Tangens von 30°.

Schwer

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

sin α = 0,6. Berechne cos α mithilfe von sin²α + cos²α = 1. (Als Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.8

cos²α = 1 − sin²α = 1 − 0,36 = 0,64. Also cos α = √0,64 = 0,8.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für einen spitzen Winkel α ist cos α = 0,28. Berechne sin α (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.96

sin²α = 1 − 0,28² = 1 − 0,0784 = 0,9216, also sin α = √0,9216 = 0,96.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Für einen spitzen Winkel α ist sin α = 0,28 und cos α = 0,96. Berechne tan α (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.29

tan α = sin α / cos α = 0,28 / 0,96 ≈ 0,29.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt a = 9 cm, b = 12 cm, c = 15 cm. Berechne tan α (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.75

tan α = a/b = 9/12 = 0,75. Probe über den Quotienten — sin α = 9/15 = 0,6 und cos α = 12/15 = 0,8, also 0,6/0,8 = 0,75.

KI-bewertete Rechnung #5 180s ▶ Testen

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 3 cm und 4 cm und die Hypotenuse 5 cm. Bestimme sin α und cos α für den Winkel α, der der 3-cm-Seite gegenüberliegt, und zeige durch Rechnung, dass sin²α + cos²α = 1 gilt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: sin α = 3/5 = 0,6 und cos α = 4/5 = 0,8. Dann ist sin²α + cos²α = 0,36 + 0,64 = 1.

Der trigonometrische Pythagoras ist nichts anderes als a² + b² = c², geteilt durch c². Am 3-4-5-Dreieck lässt sich das in zwei Zeilen nachrechnen.

KI-bewertete Rechnung #6 240s ▶ Testen

Ein Förderband ist 11 m lang und überwindet 6 m Höhe. Entscheide zuerst, welches der drei Verhältnisse Gegebenes und Gesuchtes verbindet, schreibe die Gleichung auf, berechne den Neigungswinkel und danach die waagrechte Strecke am Boden. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: sin α = 6/11 ≈ 0,545, also α = sin⁻¹(6/11) ≈ 33,1°. Waagrechte Strecke: b = 11 m · cos 33,1° ≈ 9,2 m (oder mit Pythagoras: √(11² − 6²) ≈ 9,2 m).

Gegeben sind Hypotenuse und Gegenkathete — das ist der Sinus. Der zweite Schritt ist frei wählbar, Kosinus und Pythagoras führen zum selben Wert ≈ 9,2 m.

Zahleneingabe #7 45s ▶ Testen

Ein 15 m langes Seil ist am Boden 12 m vom Mastfuß entfernt verankert. Welchen Winkel schließt es mit dem Boden ein (in Grad, auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 36.9

Gegeben sind Hypotenuse (15 m) und Ankathete (12 m), also der Kosinus cos α = 12/15 = 0,8 und α = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,9°.

Zahleneingabe #8 30s ▶ Testen

Es ist cos 63° ≈ 0,454. Wie groß ist sin 27° (auf drei Nachkommastellen)?

✓ Antwort: 0.454

27° = 90° − 63°, also sin 27° = cos 63° ≈ 0,454. Der Taschenrechner wird hier gar nicht gebraucht.

Zahleneingabe #9 35s ▶ Testen

Für einen spitzen Winkel α gilt sin α = cos 26°. Berechne α (in Grad).

✓ Antwort: 64

cos 26° = sin(90° − 26°) = sin 64°, also α = 64°.