Der Kosinus
Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 60° und die Hypotenuse c = 10 cm. Berechne die Ankathete b (in cm). (cos 60° = 0,5)
Erklärung: cos 60° = b/c → 0,5 = b/10 → b = 10 · 0,5 = 5 cm.
Wenn der Winkel α größer wird (z. B. von 30° auf 60°), was passiert mit cos α?
Erklärung: Je größer der Winkel α, desto kürzer wird die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse. Daher wird cos α kleiner. Zum Beispiel: cos 30° ≈ 0,866, aber cos 60° = 0,5.
Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm. Welche Seite ist die Ankathete von α?
Erklärung: Die Ankathete von α liegt an α an, ohne die Hypotenuse zu sein — das ist b. Die Seite a liegt α gegenüber (Gegenkathete), c ist die Hypotenuse.
Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm. Wie groß ist cos α?
Erklärung: cos α = Ankathete/Hypotenuse = 6/10 = 0,6. Die 0,8 ist sin α = 8/10 — der Wert entsteht, wenn man Gegen- und Ankathete vertauscht; 1,25 ist c/a.
Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm. Wie groß ist cos β?
Erklärung: Die Ankathete von β ist a = 8 cm, also cos β = 8/10 = 0,8. Die 0,6 ist cos α, die 0,75 ist b/a — ein Bruch ganz ohne Hypotenuse.
Eine 4 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1,5 m von der Wand entfernt. Welche Gleichung liefert den Winkel α zwischen Leiter und Boden?
Erklärung: Der Abstand zur Wand liegt an α an, die Leiter ist die Hypotenuse — Ankathete durch Hypotenuse, also der Kosinus. 4/1,5 ist größer als 1, das kann kein Kosinus sein.
cos 70° ist größer als cos 20°.
Erklärung: cos 70° ≈ 0,34, cos 20° ≈ 0,94. Je größer der Winkel, desto kürzer die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse.
In einem rechtwinkligen Dreieck mit α = 60° ist die Ankathete halb so lang wie die Hypotenuse.
Erklärung: cos 60° = 0,5, also ist Ankathete/Hypotenuse = 0,5. Das ist das halbe gleichseitige Dreieck.
Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 25° und die Hypotenuse c = 8 cm. Berechne die Ankathete b in cm (auf 0,1 cm genau).
Erklärung: cos 25° ≈ 0,906, also b = 8 cm · 0,906 ≈ 7,3 cm.
Eine 5 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1,2 m von der Wand entfernt. Berechne den Winkel α zwischen Leiter und Boden (in Grad, auf 0,1° genau).
Erklärung: cos α = 1,2/5 = 0,24, also α = cos⁻¹(0,24) ≈ 76,1°.
Eine 6 m lange Leiter lehnt unter dem Winkel 70° zum Boden an einer Wand. Wie weit ist ihr Fuß von der Wand entfernt (in m, auf 0,01 m genau)?
Erklärung: Der Abstand ist die Ankathete von 70°. b = 6 m · cos 70° ≈ 2,05 m.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist cos α = 0,8 und die Ankathete 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse (in cm)?
Erklärung: cos α = b/c, also 0,8 = 12 cm / c und damit c = 12 cm / 0,8 = 15 cm.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete b = 7 cm und die Hypotenuse c = 25 cm. Dann gilt: cos α = ___
Erklärung: cos α = b/c = 7/25 = 0,28.
Ein 2 m langes Pendel wird um β = 30° ausgelenkt. Um welche Höhe h steigt die Kugel dabei an (in m, auf 0,01 m genau)? Es gilt h = l · (1 − cos β).
Erklärung: h = 2 m · (1 − cos 30°) = 2 m · (1 − 0,866) = 2 m · 0,134 ≈ 0,27 m.
Eine 5 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1,2 m von der Wand entfernt.
Zeichne eine Skizze, benenne Ankathete und Hypotenuse und berechne
den Winkel α zwischen Leiter und Boden mit cos⁻¹.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Wandabstand liegt am gesuchten Winkel an, die Leiter ist die Hypotenuse — das ist der Kosinus. α ≈ 76,1°.
Ein Pendel der Länge l wird um den Winkel β ausgelenkt. Zeichne die
Ruhelage und die ausgelenkte Lage in eine Skizze und begründe mit dem
Kosinus, warum die Kugel um h = l · (1 − cos β) ansteigt. Rechne den
Wert anschließend für l = 2 m und β = 30° aus.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Ankathete des Auslenkungswinkels ist der senkrechte Abstand l · cos β. Die Hubhöhe ist die Differenz zur vollen Länge — daher der Faktor (1 − cos β).
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete b = 9 cm und die Hypotenuse c = 15 cm. Berechne cos α.
Erklärung: cos α = Ankathete / Hypotenuse = 9/15 = 0,6.
Tippe auf die Seite, die in cos α im Zähler steht.
Erklärung: cos α = Ankathete / Hypotenuse. Die Ankathete liegt an α bei M an und ist nicht die Hypotenuse — das ist LM. KM liegt dem rechten Winkel bei L gegenüber (Hypotenuse, Nenner), KL liegt α gegenüber (Gegenkathete).
Tippe auf die Seite, die in cos β im Zähler steht.
Erklärung: β sitzt bei Y. An Y liegen XY und YZ; XY liegt dem rechten Winkel bei Z gegenüber und ist die Hypotenuse. Die Ankathete von β ist also YZ. XZ liegt β gegenüber — sie wäre die Ankathete von α, nicht von β.
Tippe auf die Seite, die in cos α im Nenner steht.
Erklärung: Im Nenner steht die Hypotenuse, gegenüber dem rechten Winkel bei Q — das ist PR, auch wenn das Dreieck gekippt ist. PQ liegt an α an (Zähler), QR liegt α gegenüber.
Die Ankathete von α ist 4 cm lang, die Hypotenuse 10 cm. Welche Eingabe liefert α?
Erklärung: Ankathete durch Hypotenuse ist cos α = 0,4, also α = cos⁻¹(0,4) ≈ 66,4°. sin⁻¹(0,4) ≈ 23,6° ist der andere spitze Winkel — die Seite von 4 cm ist seine Gegenkathete. 1 ÷ cos bildet einen Kehrwert und macht den Kosinus nicht rückgängig.
Aus cos α = 0,5 folgt α = 30°.
Erklärung: cos⁻¹(0,5) = 60°. Die 30° gehören zu sin α = 0,5 — wer die Taste sin⁻¹ drückt, bekommt den anderen spitzen Winkel.
cos α = 0,5. Berechne α (in Grad).
Erklärung: α = cos⁻¹(0,5) = 60°.
Ergänze mit dem Taschenrechner, auf ganze Grad gerundet: α = cos⁻¹(0,8) ≈ ___ °
Erklärung: cos⁻¹(0,8) ≈ 36,9°, gerundet 37°.