Der Kosinus

The Cosine Ratio

Mathematik Klasse 9 24 Aufgaben

GeometrieTrigonometrieKosinus

cos α ist das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse — dieselbe Konstruktion wie beim Sinus, nur mit der anderen Kathete. Welche Kathete „an" ist, entscheidet der Winkel, um den es geht: dieselbe Seite ist für α Ankathete und für β Gegenkathete. Räumt die Fehlvorstellung aus, Kathetenrollen seien Eigenschaften der Seiten statt des betrachteten Winkels — genau die Verwechslung, die sin/cos-Vertauschungen erzeugt. Trägt die Komplementärbeziehung cos α = sin(90° − α) und den Kosinussatz.

Die zweite Kathete ist die Ankathete b, die an α anliegt. Ihr Verhältnis zur Hypotenuse ist der Kosinus von α:

$cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} = \frac{b}{c}$

Verändere α mit dem Schieberegler: Bei welchem Winkel ist die Ankathete b genau halb so lang wie die Hypotenuse c?

Der Kosinus gibt an, welchen Anteil die Ankathete an der Hypotenuse hat. In der Figur ist sie bei 60⁠° halb so lang: $cos 60° = 0, 50$ .

Wenn α größer wird, wird die Ankathete kürzer, die Hypotenuse bleibt gleich — also wird cos α kleiner. Der Kosinus fällt, wo der Sinus steigt.

Rückwärts. Die Umkehrtaste cos⁻¹ liefert den Winkel zu einem Kosinuswert: $α = cos^{- 1} (0, 5) = 60°$ .

Voraussetzungen (1)

Der Sinus

Klasse 9

›

Ermöglicht (1)

Der Tangens

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wenn der Winkel α größer wird (z. B. von 30° auf 60°), was passiert mit cos α?

○ cos α wird größer
● cos α wird kleiner
○ cos α bleibt gleich
○ cos α wird zuerst größer, dann kleiner

Je größer der Winkel α, desto kürzer wird die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse. Daher wird cos α kleiner. Zum Beispiel: cos 30° ≈ 0,866, aber cos 60° = 0,5.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm. Welche Seite ist die Ankathete von α?

● b = 6 cm
○ a = 8 cm
○ c = 10 cm

Die Ankathete von α liegt an α an, ohne die Hypotenuse zu sein — das ist b. Die Seite a liegt α gegenüber (Gegenkathete), c ist die Hypotenuse.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm. Wie groß ist cos α?

● 0,6
○ 0,8
○ 1,25

cos α = Ankathete/Hypotenuse = 6/10 = 0,6. Die 0,8 ist sin α = 8/10 — der Wert entsteht, wenn man Gegen- und Ankathete vertauscht; 1,25 ist c/a.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm. Wie groß ist cos β?

● 0,8
○ 0,6
○ 0,75

Die Ankathete von β ist a = 8 cm, also cos β = 8/10 = 0,8. Die 0,6 ist cos α, die 0,75 ist b/a — ein Bruch ganz ohne Hypotenuse.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Eine 4 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1,5 m von der Wand entfernt. Welche Gleichung liefert den Winkel α zwischen Leiter und Boden?

● cos α = 1,5/4
○ sin α = 1,5/4
○ cos α = 4/1,5

Der Abstand zur Wand liegt an α an, die Leiter ist die Hypotenuse — Ankathete durch Hypotenuse, also der Kosinus. 4/1,5 ist größer als 1, das kann kein Kosinus sein.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

cos 70° ist größer als cos 20°.

✓ Falsch

cos 70° ≈ 0,34, cos 20° ≈ 0,94. Je größer der Winkel, desto kürzer die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse.

Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

In einem rechtwinkligen Dreieck mit α = 60° ist die Ankathete halb so lang wie die Hypotenuse.

✓ Wahr

cos 60° = 0,5, also ist Ankathete/Hypotenuse = 0,5. Das ist das halbe gleichseitige Dreieck.

Im Bild tippen #8 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die in cos α im Zähler steht.

✓ Antwort: LM

cos α = Ankathete / Hypotenuse. Die Ankathete liegt an α bei M an und ist nicht die Hypotenuse — das ist LM. KM liegt dem rechten Winkel bei L gegenüber (Hypotenuse, Nenner), KL liegt α gegenüber (Gegenkathete).

Im Bild tippen #9 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die in cos β im Zähler steht.

✓ Antwort: YZ

β sitzt bei Y. An Y liegen XY und YZ; XY liegt dem rechten Winkel bei Z gegenüber und ist die Hypotenuse. Die Ankathete von β ist also YZ. XZ liegt β gegenüber — sie wäre die Ankathete von α, nicht von β.

Im Bild tippen #10 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die in cos α im Nenner steht.

✓ Antwort: PR

Im Nenner steht die Hypotenuse, gegenüber dem rechten Winkel bei Q — das ist PR, auch wenn das Dreieck gekippt ist. PQ liegt an α an (Zähler), QR liegt α gegenüber.

Multiple Choice #11 25s ▶ Testen

Die Ankathete von α ist 4 cm lang, die Hypotenuse 10 cm. Welche Eingabe liefert α?

● cos⁻¹(4 ÷ 10)
○ sin⁻¹(4 ÷ 10)
○ 1 ÷ cos(4 ÷ 10)

Ankathete durch Hypotenuse ist cos α = 0,4, also α = cos⁻¹(0,4) ≈ 66,4°. sin⁻¹(0,4) ≈ 23,6° ist der andere spitze Winkel — die Seite von 4 cm ist seine Gegenkathete. 1 ÷ cos bildet einen Kehrwert und macht den Kosinus nicht rückgängig.

Wahr / Falsch #12 15s ▶ Testen

Aus cos α = 0,5 folgt α = 30°.

✓ Falsch

cos⁻¹(0,5) = 60°. Die 30° gehören zu sin α = 0,5 — wer die Taste sin⁻¹ drückt, bekommt den anderen spitzen Winkel.

Mittel

Lückentext #1 15s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete b = 7 cm und die Hypotenuse c = 25 cm. Dann gilt: cos α = ___

✓ Antwort: 0,28

cos α = b/c = 7/25 = 0,28.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete b = 9 cm und die Hypotenuse c = 15 cm. Berechne cos α.

✓ Antwort: 0.6

cos α = Ankathete / Hypotenuse = 9/15 = 0,6.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

cos α = 0,5. Berechne α (in Grad).

✓ Antwort: 60

α = cos⁻¹(0,5) = 60°.

Lückentext #4 25s ▶ Testen

Ergänze mit dem Taschenrechner, auf ganze Grad gerundet: α = cos⁻¹(0,8) ≈ ___ °

✓ Antwort: 37

cos⁻¹(0,8) ≈ 36,9°, gerundet 37°.

Schwer

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 60° und die Hypotenuse c = 10 cm. Berechne die Ankathete b (in cm). (cos 60° = 0,5)

✓ Antwort: 5

cos 60° = b/c → 0,5 = b/10 → b = 10 · 0,5 = 5 cm.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 25° und die Hypotenuse c = 8 cm. Berechne die Ankathete b in cm (auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 7.3

cos 25° ≈ 0,906, also b = 8 cm · 0,906 ≈ 7,3 cm.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Eine 5 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1,2 m von der Wand entfernt. Berechne den Winkel α zwischen Leiter und Boden (in Grad, auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 76.1

cos α = 1,2/5 = 0,24, also α = cos⁻¹(0,24) ≈ 76,1°.

Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Eine 6 m lange Leiter lehnt unter dem Winkel 70° zum Boden an einer Wand. Wie weit ist ihr Fuß von der Wand entfernt (in m, auf 0,01 m genau)?

✓ Antwort: 2.05

Der Abstand ist die Ankathete von 70°. b = 6 m · cos 70° ≈ 2,05 m.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

In einem rechtwinkligen Dreieck ist cos α = 0,8 und die Ankathete 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse (in cm)?

✓ Antwort: 15

cos α = b/c, also 0,8 = 12 cm / c und damit c = 12 cm / 0,8 = 15 cm.

Zahleneingabe #6 40s ▶ Testen

Ein 2 m langes Pendel wird um β = 30° ausgelenkt. Um welche Höhe h steigt die Kugel dabei an (in m, auf 0,01 m genau)? Es gilt h = l · (1 − cos β).

✓ Antwort: 0.27

h = 2 m · (1 − cos 30°) = 2 m · (1 − 0,866) = 2 m · 0,134 ≈ 0,27 m.

KI-bewertete Rechnung #7 180s ▶ Testen

Eine 5 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1,2 m von der Wand entfernt. Zeichne eine Skizze, benenne Ankathete und Hypotenuse und berechne den Winkel α zwischen Leiter und Boden mit cos⁻¹. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit der Leiter als Hypotenuse (5 m) und dem Wandabstand als Ankathete (1,2 m). cos α = 1,2 m / 5 m = 0,24, also α = cos⁻¹(0,24) ≈ 76,1°.

Der Wandabstand liegt am gesuchten Winkel an, die Leiter ist die Hypotenuse — das ist der Kosinus. α ≈ 76,1°.

KI-bewertete Rechnung #8 240s ▶ Testen

Ein Pendel der Länge l wird um den Winkel β ausgelenkt. Zeichne die Ruhelage und die ausgelenkte Lage in eine Skizze und begründe mit dem Kosinus, warum die Kugel um h = l · (1 − cos β) ansteigt. Rechne den Wert anschließend für l = 2 m und β = 30° aus. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Die Kugel hängt in der ausgelenkten Lage l · cos β unterhalb des Aufhängepunktes, in der Ruhelage l. Also h = l − l · cos β = l · (1 − cos β). Für l = 2 m und β = 30°: h = 2 m · (1 − 0,866) ≈ 0,27 m.

Die Ankathete des Auslenkungswinkels ist der senkrechte Abstand l · cos β. Die Hubhöhe ist die Differenz zur vollen Länge — daher der Faktor (1 − cos β).