Der Sinus
Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 30° und die Hypotenuse c = 12 cm. Berechne die Gegenkathete a (in cm). (sin 30° = 0,5)
Erklärung: sin 30° = a/c → 0,5 = a/12 → a = 12 · 0,5 = 6 cm.
Die Gegenkathete ist 4 cm lang, die Hypotenuse 8 cm. Wie groß ist sin α?
Erklärung: sin α = Gegenkathete / Hypotenuse = 4/8 = 0,5.
Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm. Welche Seite ist die Gegenkathete von α?
Erklärung: Die Gegenkathete von α liegt α gegenüber, das ist die Seite a. Die Seite b liegt an α an (Ankathete), c ist die Hypotenuse.
Im rechtwinkligen Dreieck PQR liegt der rechte Winkel bei R. Welche Seite ist die Hypotenuse?
Erklärung: Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Der rechte Winkel ist bei R, also ist PQ die Hypotenuse — QR und PR sind die Katheten.
Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm. Wie groß ist sin β?
Erklärung: Gegenkathete von β ist b = 12 cm, Hypotenuse ist c = 13 cm, also sin β = 12/13 ≈ 0,92. Die 0,38 ist sin α = 5/13, die 0,42 ist a/b — ein Bruch ganz ohne Hypotenuse.
In einem rechtwinkligen Dreieck kann sin α = 1,2 sein.
Erklärung: Die Gegenkathete ist immer kürzer als die Hypotenuse, also ist der Bruch Gegenkathete/Hypotenuse kleiner als 1. Ein Sinus über 1 ist unmöglich.
In jedem rechtwinkligen Dreieck mit α = 30° ist sin α = 0,5 — egal wie lang die Seiten sind.
Erklärung: Alle rechtwinkligen Dreiecke mit α = 30° sind zueinander ähnlich, also ist Gegenkathete/Hypotenuse immer 0,5.
Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 35° und die Hypotenuse c = 9 cm. Berechne die Gegenkathete a in cm (auf 0,1 cm genau).
Erklärung: sin 35° ≈ 0,574, also a = 9 cm · 0,574 ≈ 5,2 cm.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete a = 7 cm und die Hypotenuse c = 10 cm. Berechne α in Grad (auf 0,1° genau).
Erklärung: sin α = 7/10 = 0,7, also α = sin⁻¹(0,7) ≈ 44,4°.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete a = 6 cm und die Hypotenuse c = 10 cm. Dann gilt: sin α = ___
Erklärung: sin α = a/c = 6/10 = 0,6.
Ein Drachenflieger wird von einem Motorboot an einer 100 m langen, straff gespannten Leine gezogen. Die Leine steigt unter 50° an. Wie hoch ist der Flieger über dem Wasser (in m, auf 0,1 m genau)?
Erklärung: Die Leine ist die Hypotenuse, die Höhe die Gegenkathete von 50°. Also h = 100 m · sin 50° ≈ 76,6 m.
Derselbe Drachenflieger an der 100 m langen Leine darf höchstens 20 m hoch fliegen. Wie groß darf der Anstiegswinkel der Leine höchstens sein (in Grad, auf 0,1° genau)?
Erklärung: sin α = 20 m / 100 m = 0,2, also α = sin⁻¹(0,2) ≈ 11,5°.
Eine 5 m lange Leiter lehnt unter dem Winkel 76,1° an einer Wand. Wie hoch reicht sie an der Wand hinauf (in m, auf 0,01 m genau)?
Erklärung: Die Leiter ist die Hypotenuse, die Wandhöhe die Gegenkathete des Winkels am Boden. h = 5 m · sin 76,1° ≈ 4,85 m.
Ein Drachenflieger hängt an einer 100 m langen Leine, die unter 50°
ansteigt. Zeichne eine Skizze des rechtwinkligen Dreiecks, benenne
Gegenkathete und Hypotenuse und berechne die Flughöhe.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Gesucht ist die Gegenkathete, gegeben sind Hypotenuse und Winkel — das ist genau der Sinus. h = 100 m · sin 50° ≈ 76,6 m.
An derselben 100 m langen Leine soll der Flieger höchstens 20 m
hoch steigen. Berechne den größten erlaubten Anstiegswinkel und
schreibe die Umkehrung mit sin⁻¹ ausdrücklich auf.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Gegeben sind zwei Seiten, gesucht ist der Winkel — dafür braucht man die Umkehrfunktion sin⁻¹. α ≈ 11,5°.
sin α = 0,42 ist bekannt, gesucht ist α. Welche Taste am Taschenrechner führt zum Ziel?
Erklärung: sin⁻¹ (auch arcsin) macht den Sinus rückgängig. Die sin-Taste geht in die andere Richtung, 1/x bildet den Kehrwert und hat mit Winkeln nichts zu tun.
sin⁻¹(0,5) ist dasselbe wie 1 geteilt durch sin 0,5.
Erklärung: sin⁻¹ ist die Umkehrfunktion, kein Kehrwert. sin⁻¹(0,5) = 30°, während 1 / sin 0,5 etwas ganz anderes ergibt.
sin α = 0,5. Berechne α (in Grad).
Erklärung: α = sin⁻¹(0,5) = 30°.
Ergänze mit dem Taschenrechner, auf ganze Grad gerundet: α = sin⁻¹(0,8) ≈ ___ °
Erklärung: sin⁻¹(0,8) ≈ 53,1°, gerundet 53°.
Tippe auf die Seite, die in sin α im Zähler steht.
Erklärung: sin α = Gegenkathete / Hypotenuse. Im Zähler steht die Gegenkathete — die Seite, die α bei D gegenüberliegt und D nicht berührt, also EF. DF liegt dem rechten Winkel bei E gegenüber (Hypotenuse, Nenner), DE liegt an α an.
Tippe auf die Seite, die in sin α im Nenner steht.
Erklärung: Im Nenner steht die Hypotenuse — die Seite gegenüber dem rechten Winkel bei S, also RT. Die lange senkrechte Seite RS liegt α gegenüber, sie ist die Gegenkathete und steht im Zähler. ST liegt an α an.
Tippe auf die Seite, die in sin β im Zähler steht.
Erklärung: Jetzt ist der Winkel β bei B gemeint. Ihm gegenüber liegt AC — die Gegenkathete von β steht im Zähler. BC liegt an β an, AB ist die Hypotenuse.