Der Sinus

The Sine Ratio

Mathematik Klasse 9 22 Aufgaben

GeometrieTrigonometrieSinus

sin α ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse — die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, geteilt durch die längste. Weil die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite ist, liegt der Sinus eines spitzen Winkels zwischen 0 und 1; ein Ergebnis über 1 ist ein Zeichen für vertauschte Seiten, nicht für einen großen Winkel. Räumt die häufigste Verwechslung aus, Gegen- und Ankathete gegeneinander zu tauschen. Bereitet den Kosinus und die Fortsetzung auf alle Winkel am Einheitskreis vor.

Das erste Seitenverhältnis bekommt einen Namen. Das Verhältnis von Gegenkathete a zu Hypotenuse c ist der Sinus von α:

$sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac{a}{c}$

Verändere α mit dem Schieberegler: Bei welchem Winkel ist die Gegenkathete a genau halb so lang wie die Hypotenuse c?

Der Sinus gibt an, welchen Anteil die Gegenkathete an der Hypotenuse hat. Halb so lang ist sie bei 30⁠°: $sin 30° = 0, 50$ , in jedem rechtwinkligen Dreieck mit 30⁠°. Und je größer α, desto größer sin α.

Rückwärts. Mit dem Regler hast du eben zu einem Sinuswert den Winkel gesucht. Das erledigt die Umkehrtaste sin⁻¹ am Taschenrechner: $α = sin^{- 1} (0, 5) = 30°$ . sin⁻¹ macht den Sinus rückgängig; es ist kein Kehrwert, also nicht 1 geteilt durch sin.

Eine Seite ausrechnen. Kennst du den Winkel und eine Seite, stellst du $sin α = a / c$ um wie jede Gleichung seit Klasse 7. Steht die gesuchte Seite im Zähler, nimmst du beide Seiten mal $c$ : $a = c \cdot sin α$ . Steht sie im Nenner, nimmst du erst mal $c$ und teilst dann durch den Sinus: $c = a : sin α$ .

Voraussetzungen (1)

Klasse 9

›

Ermöglicht (4)

Der Kosinus

Klasse 9

›

Flächeninhalt mit dem Sinus

Klasse 9

›

Höhe im allgemeinen Dreieck

Klasse 9

›

Zwei rechtwinklige Teildreiecke

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Die Gegenkathete ist 4 cm lang, die Hypotenuse 8 cm. Wie groß ist sin α?

○ 0,25
● 0,5
○ 2
○ 0,75

sin α = Gegenkathete / Hypotenuse = 4/8 = 0,5.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm. Welche Seite ist die Gegenkathete von α?

● a = 5 cm
○ b = 12 cm
○ c = 13 cm

Die Gegenkathete von α liegt α gegenüber, das ist die Seite a. Die Seite b liegt an α an (Ankathete), c ist die Hypotenuse.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck PQR liegt der rechte Winkel bei R. Welche Seite ist die Hypotenuse?

● PQ
○ QR
○ PR

Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Der rechte Winkel ist bei R, also ist PQ die Hypotenuse — QR und PR sind die Katheten.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm. Wie groß ist sin β?

● 0,92
○ 0,38
○ 0,42

Gegenkathete von β ist b = 12 cm, Hypotenuse ist c = 13 cm, also sin β = 12/13 ≈ 0,92. Die 0,38 ist sin α = 5/13, die 0,42 ist a/b — ein Bruch ganz ohne Hypotenuse.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

In einem rechtwinkligen Dreieck kann sin α = 1,2 sein.

✓ Falsch

Die Gegenkathete ist immer kürzer als die Hypotenuse, also ist der Bruch Gegenkathete/Hypotenuse kleiner als 1. Ein Sinus über 1 ist unmöglich.

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit α = 30° ist sin α = 0,5 — egal wie lang die Seiten sind.

✓ Wahr

Alle rechtwinkligen Dreiecke mit α = 30° sind zueinander ähnlich, also ist Gegenkathete/Hypotenuse immer 0,5.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

sin α = 0,42 ist bekannt, gesucht ist α. Welche Taste am Taschenrechner führt zum Ziel?

● sin⁻¹
○ sin
○ 1/x

sin⁻¹ (auch arcsin) macht den Sinus rückgängig. Die sin-Taste geht in die andere Richtung, 1/x bildet den Kehrwert und hat mit Winkeln nichts zu tun.

Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

sin⁻¹(0,5) ist dasselbe wie 1 geteilt durch sin 0,5.

✓ Falsch

sin⁻¹ ist die Umkehrfunktion, kein Kehrwert. sin⁻¹(0,5) = 30°, während 1 / sin 0,5 etwas ganz anderes ergibt.

Im Bild tippen #9 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die in sin α im Zähler steht.

✓ Antwort: EF

sin α = Gegenkathete / Hypotenuse. Im Zähler steht die Gegenkathete — die Seite, die α bei D gegenüberliegt und D nicht berührt, also EF. DF liegt dem rechten Winkel bei E gegenüber (Hypotenuse, Nenner), DE liegt an α an.

Im Bild tippen #10 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die in sin α im Nenner steht.

✓ Antwort: RT

Im Nenner steht die Hypotenuse — die Seite gegenüber dem rechten Winkel bei S, also RT. Die lange senkrechte Seite RS liegt α gegenüber, sie ist die Gegenkathete und steht im Zähler. ST liegt an α an.

Im Bild tippen #11 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die in sin β im Zähler steht.

✓ Antwort: AC

Jetzt ist der Winkel β bei B gemeint. Ihm gegenüber liegt AC — die Gegenkathete von β steht im Zähler. BC liegt an β an, AB ist die Hypotenuse.

Mittel

Lückentext #1 15s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete a = 6 cm und die Hypotenuse c = 10 cm. Dann gilt: sin α = ___

✓ Antwort: 0,6

sin α = a/c = 6/10 = 0,6.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

sin α = 0,5. Berechne α (in Grad).

✓ Antwort: 30

α = sin⁻¹(0,5) = 30°.

Lückentext #3 25s ▶ Testen

Ergänze mit dem Taschenrechner, auf ganze Grad gerundet: α = sin⁻¹(0,8) ≈ ___ °

✓ Antwort: 53

sin⁻¹(0,8) ≈ 53,1°, gerundet 53°.

Schwer

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 30° und die Hypotenuse c = 12 cm. Berechne die Gegenkathete a (in cm). (sin 30° = 0,5)

✓ Antwort: 6

sin 30° = a/c → 0,5 = a/12 → a = 12 · 0,5 = 6 cm.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 35° und die Hypotenuse c = 9 cm. Berechne die Gegenkathete a in cm (auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 5.2

sin 35° ≈ 0,574, also a = 9 cm · 0,574 ≈ 5,2 cm.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete a = 7 cm und die Hypotenuse c = 10 cm. Berechne α in Grad (auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 44.4

sin α = 7/10 = 0,7, also α = sin⁻¹(0,7) ≈ 44,4°.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Ein Drachenflieger wird von einem Motorboot an einer 100 m langen, straff gespannten Leine gezogen. Die Leine steigt unter 50° an. Wie hoch ist der Flieger über dem Wasser (in m, auf 0,1 m genau)?

✓ Antwort: 76.6

Die Leine ist die Hypotenuse, die Höhe die Gegenkathete von 50°. Also h = 100 m · sin 50° ≈ 76,6 m.

Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Derselbe Drachenflieger an der 100 m langen Leine darf höchstens 20 m hoch fliegen. Wie groß darf der Anstiegswinkel der Leine höchstens sein (in Grad, auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 11.5

sin α = 20 m / 100 m = 0,2, also α = sin⁻¹(0,2) ≈ 11,5°.

Zahleneingabe #6 35s ▶ Testen

Eine 5 m lange Leiter lehnt unter dem Winkel 76,1° an einer Wand. Wie hoch reicht sie an der Wand hinauf (in m, auf 0,01 m genau)?

✓ Antwort: 4.85

Die Leiter ist die Hypotenuse, die Wandhöhe die Gegenkathete des Winkels am Boden. h = 5 m · sin 76,1° ≈ 4,85 m.

KI-bewertete Rechnung #7 180s ▶ Testen

Ein Drachenflieger hängt an einer 100 m langen Leine, die unter 50° ansteigt. Zeichne eine Skizze des rechtwinkligen Dreiecks, benenne Gegenkathete und Hypotenuse und berechne die Flughöhe. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit der Leine als Hypotenuse (100 m) und der Höhe h als Gegenkathete von α = 50°. sin 50° = h / 100 m, also h = 100 m · sin 50° ≈ 76,6 m.

Gesucht ist die Gegenkathete, gegeben sind Hypotenuse und Winkel — das ist genau der Sinus. h = 100 m · sin 50° ≈ 76,6 m.

KI-bewertete Rechnung #8 180s ▶ Testen

An derselben 100 m langen Leine soll der Flieger höchstens 20 m hoch steigen. Berechne den größten erlaubten Anstiegswinkel und schreibe die Umkehrung mit sin⁻¹ ausdrücklich auf. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: sin α = 20 m / 100 m = 0,2, also α = sin⁻¹(0,2) ≈ 11,5°. Der Anstiegswinkel darf höchstens 11,5° betragen.

Gegeben sind zwei Seiten, gesucht ist der Winkel — dafür braucht man die Umkehrfunktion sin⁻¹. α ≈ 11,5°.