Der Tangens
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete a = 6 cm und die Ankathete b = 6 cm. Berechne tan α.
Erklärung: tan α = a/b = 6/6 = 1. Das bedeutet α = 45°.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen tan α, sin α und cos α?
Erklärung: tan α = Gegenkathete/Ankathete = (a/c)/(b/c) = sin α / cos α.
Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 5 cm, b = 12 cm. Wie groß ist tan α?
Erklärung: tan α = Gegenkathete/Ankathete = 5/12 ≈ 0,42. Die 2,4 ist 12/5, also der vertauschte Bruch (das wäre tan β); 0,38 ist 5/13 und damit sin α.
Eine Treppe überbrückt 3,20 m Höhe auf 4,50 m Ausladung am Boden. Welche Gleichung liefert den Steigungswinkel α?
Erklärung: Höhe und Ausladung sind die beiden Katheten — Gegenkathete durch Ankathete, also der Tangens. 4,50/3,20 vertauscht die Katheten, der Sinus bräuchte die Hypotenuse.
In einem rechtwinkligen Dreieck mit α = 45° sind Gegenkathete und Ankathete gleich lang.
Erklärung: tan 45° = 1, also Gegenkathete/Ankathete = 1. Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig.
tan α kann nicht größer als 1 werden.
Erklärung: Anders als sin und cos ist der Tangens nach oben unbegrenzt — z. B. ist tan 70° ≈ 2,75. Die Gegenkathete darf länger sein als die Ankathete.
In welchem dieser rechtwinkligen Dreiecke ist der Winkel α am größten?
Erklärung: tan α ist 5/6 ≈ 0,83 bzw. 3/8 = 0,375 bzw. 2/7 ≈ 0,29. Der größte Tangens gehört zum größten Winkel — nicht die längsten Seiten.
Eine Treppe überbrückt eine Geschosshöhe von 3,20 m; für die Ausladung stehen 4,50 m zur Verfügung. Unter welchem Steigungswinkel wird die Treppenwange zugeschnitten (in Grad, auf 0,1° genau)?
Erklärung: tan α = 3,20 m / 4,50 m ≈ 0,711, also α = tan⁻¹(0,711) ≈ 35,4°.
Ein Rechteck hat die Seiten 7 cm und 18 cm. Welchen Winkel schließt eine Diagonale mit der langen Seite ein (in Grad, auf 0,1° genau)?
Erklärung: Die kurze Seite liegt dem gesuchten Winkel gegenüber, die lange liegt an. tan α = 7/18 ≈ 0,389, also α ≈ 21,3°.
Im selben Rechteck mit den Seiten 7 cm und 18 cm — welchen Winkel schließt die Diagonale mit der kurzen Seite ein (in Grad, auf 0,1° genau)?
Erklärung: Jetzt ist die lange Seite die Gegenkathete. tan β = 18/7 ≈ 2,571, also β ≈ 68,7°. Probe: 21,3° + 68,7° = 90°.
Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 32° und die Ankathete b = 9 cm. Berechne die Gegenkathete a in cm (auf 0,1 cm genau).
Erklärung: tan 32° ≈ 0,625, also a = 9 cm · 0,625 ≈ 5,6 cm.
Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 55° und die Gegenkathete a = 7 cm. Berechne die Ankathete b in cm (auf 0,1 cm genau).
Erklärung: tan 55° ≈ 1,428, also b = 7 cm / 1,428 ≈ 4,9 cm. Hier steht die gesuchte Größe im Nenner — es wird dividiert, nicht multipliziert.
Ein Verkehrsschild meldet 12 % Steigung — auf 100 m waagrechter Strecke geht es 12 m hinauf. Wie groß ist der Steigungswinkel (in Grad, auf 0,1° genau)?
Erklärung: Die Prozentangabe ist genau tan α = 12/100 = 0,12, also α = tan⁻¹(0,12) ≈ 6,8°. Der Tangens ist die Steigung aus Jgst. 8.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete a = 6 cm und die Ankathete b = 8 cm. Dann gilt: tan α = ___
Erklärung: tan α = a/b = 6/8 = 0,75.
Eine Treppe überbrückt 3,20 m Geschosshöhe bei 4,50 m Ausladung.
Zeichne eine Skizze, benenne Gegenkathete und Ankathete und berechne
den Steigungswinkel mit tan⁻¹.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Beide gegebenen Längen sind Katheten — deshalb der Tangens. α ≈ 35,4°.
Zeichne ein Rechteck mit den Seiten a = 7 cm und b = 18 cm, ziehe
eine Diagonale ein und berechne beide Winkel, die sie mit den Seiten
einschließt. Prüfe am Ende, ob die Summe 90° ergibt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Diagonale zerlegt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich zu 90° — das ist zugleich die Probe.
Ein Weg steigt um 100 % — auf 10 m waagrechter Strecke geht es 10 m hinauf. Welchen Steigungswinkel hat er?
Erklärung: 100 % heißt tan α = 10/10 = 1, also α = 45°. Senkrecht (90°) wäre gar keine Steigung mehr, sondern eine Wand.
Eine Steigung von 12 % bedeutet einen Steigungswinkel von 12°.
Erklärung: 12 % heißt tan α = 0,12, also α ≈ 6,8°. Prozent und Grad sind zwei verschiedene Maße für dieselbe Steigung.
Für einen Hang ist tan α = 0,25. Wie viel Prozent Steigung sind das?
Erklärung: Steigung in Prozent = tan α · 100 % = 0,25 · 100 % = 25 %.
Ergänze: 100 % Steigung heißt ein Steigungswinkel von ___ °
Erklärung: 100 % bedeutet tan α = 1, und tan 45° = 1.
Eine Skipiste fällt unter 20°. Wie viel Prozent Gefälle sind das (auf 1 % genau)?
Erklärung: tan 20° ≈ 0,364, also 0,364 · 100 % ≈ 36 %. Auf 100 m waagrechter Strecke geht es 36 m hinunter.
Tippe auf die Seite, die in tan α im Zähler steht.
Erklärung: tan α = Gegenkathete / Ankathete. Im Zähler steht die Gegenkathete — die Seite gegenüber α bei G, also HI. GH liegt an α an (Nenner), GI ist die Hypotenuse und kommt im Tangens gar nicht vor.
Tippe auf die Seite, die in tan α im Nenner steht.
Erklärung: Im Nenner steht die Ankathete — die Kathete, die an α bei U anliegt, hier die kurze waagrechte Seite UW. Die lange senkrechte Seite VW liegt α gegenüber und steht im Zähler; UV ist die Hypotenuse.
Tippe auf die Seite, die in tan β im Nenner steht.
Erklärung: β sitzt bei P. Von P gehen NP und MP aus; MP liegt dem rechten Winkel bei N gegenüber und ist die Hypotenuse. Also ist NP die Ankathete von β und steht im Nenner. MN liegt β gegenüber (Zähler).
Welches der beiden Dreiecke hat den größeren Wert tan α?
Erklärung: Links ist tan α = 4/8 = 0,5, rechts 2,4/3 = 0,8. Das rechte Dreieck ist kleiner, aber steiler — der Tangens misst das Verhältnis der Katheten, nicht die Größe.
Welches der beiden Dreiecke hat den größeren Wert tan α?
Erklärung: Links 2/3, rechts 4/6 = 2/3. Das rechte Dreieck ist das linke, doppelt so groß — gleicher Winkel, gleicher Tangens.
Die Gegenkathete von α ist 3 cm lang, die Ankathete 5 cm. Welche Eingabe liefert α?
Erklärung: tan α = 3/5 = 0,6, also α = tan⁻¹(0,6) ≈ 31,0°. Mit 5 ÷ 3 bekommst du den anderen spitzen Winkel (≈ 59,0°). 1 ÷ tan bildet einen Kehrwert und macht den Tangens nicht rückgängig.
Zu tan α = 2 gibt es keinen spitzen Winkel α.
Erklärung: Der Tangens ist nicht durch 1 beschränkt. tan⁻¹(2) ≈ 63,4° — die Gegenkathete ist dann doppelt so lang wie die Ankathete.
tan α = 0,75. Berechne α (in Grad, auf 0,1° genau).
Erklärung: α = tan⁻¹(0,75) ≈ 36,9°.
Eine Rampe steigt auf 6 m waagrechter Länge um 0,5 m an. Unter welchem Winkel steigt sie (in Grad, auf 0,1° genau)?
Erklärung: Beide Längen sind Katheten, also tan α = 0,5/6 ≈ 0,083 und α = tan⁻¹(0,083) ≈ 4,8°.