Der Tangens

The Tangent Ratio

Mathematik Klasse 9 30 Aufgaben

GeometrieTrigonometrieTangens

tan α ist das Verhältnis der beiden Katheten zueinander, Gegenkathete durch Ankathete — und damit zugleich sin α / cos α, weil sich die Hypotenuse aus beiden Brüchen herauskürzt. Anders als Sinus und Kosinus ist der Tangens nicht durch 1 beschränkt: er wächst über jede Grenze, wenn α sich 90° nähert, weil die Ankathete dabei gegen null geht. Räumt die Erwartung aus, auch der Tangens müsse zwischen 0 und 1 liegen. Bereitet Steigungs- und Höhenwinkelaufgaben vor.

Das dritte Seitenverhältnis vergleicht die beiden Katheten miteinander. Im 3-4-5-Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm ist es $3 : 4 = 0, 75$ . Dieses Verhältnis heißt Tangens von α:

$tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{a}{b}$

Der Tangens vergleicht die Gegenkathete direkt mit der Ankathete — die Hypotenuse spielt hier keine Rolle.

Verändere α: Bei welchem Winkel zeigt die Anzeige tan α = 0,75, den Wert des 3-4-5-Dreiecks? Und wohin musst du α ziehen, damit tan α größer als 1 wird?

Bei 45⁠° zeigt die Anzeige tan α = 1, weil Gegenkathete und Ankathete dann gleich lang sind. Darüber schrumpft die Ankathete, und der Tangens wächst über jede Grenze — Sinus und Kosinus bleiben immer unter 1, weil die Hypotenuse die längste Seite ist.

Rückwärts. Die Umkehrtaste tan⁻¹ liefert den Winkel aus den beiden Katheten: $α = tan^{- 1} (0, 75) \approx 36, 9°$ — der Winkel des 3-4-5-Dreiecks, den du eben in der Figur gesucht hast.

Voraussetzungen (1)

Der Kosinus

Klasse 9

›

Ermöglicht (1)

Alle drei Verhältnisse zusammen

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welcher Zusammenhang besteht zwischen tan α, sin α und cos α?

○ tan α = sin α · cos α
○ tan α = sin α + cos α
● tan α = sin α / cos α
○ tan α = cos α / sin α

tan α = Gegenkathete/Ankathete = (a/c)/(b/c) = sin α / cos α.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 5 cm, b = 12 cm. Wie groß ist tan α?

● 0,42
○ 2,4
○ 0,38

tan α = Gegenkathete/Ankathete = 5/12 ≈ 0,42. Die 2,4 ist 12/5, also der vertauschte Bruch (das wäre tan β); 0,38 ist 5/13 und damit sin α.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Eine Treppe überbrückt 3,20 m Höhe auf 4,50 m Ausladung am Boden. Welche Gleichung liefert den Steigungswinkel α?

● tan α = 3,20/4,50
○ tan α = 4,50/3,20
○ sin α = 3,20/4,50

Höhe und Ausladung sind die beiden Katheten — Gegenkathete durch Ankathete, also der Tangens. 4,50/3,20 vertauscht die Katheten, der Sinus bräuchte die Hypotenuse.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

In einem rechtwinkligen Dreieck mit α = 45° sind Gegenkathete und Ankathete gleich lang.

✓ Wahr

tan 45° = 1, also Gegenkathete/Ankathete = 1. Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

tan α kann nicht größer als 1 werden.

✓ Falsch

Anders als sin und cos ist der Tangens nach oben unbegrenzt — z. B. ist tan 70° ≈ 2,75. Die Gegenkathete darf länger sein als die Ankathete.

Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

In welchem dieser rechtwinkligen Dreiecke ist der Winkel α am größten?

● Gegenkathete 5 cm, Ankathete 6 cm
○ Gegenkathete 3 cm, Ankathete 8 cm
○ Gegenkathete 2 cm, Ankathete 7 cm

tan α ist 5/6 ≈ 0,83 bzw. 3/8 = 0,375 bzw. 2/7 ≈ 0,29. Der größte Tangens gehört zum größten Winkel — nicht die längsten Seiten.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Ein Weg steigt um 100 % — auf 10 m waagrechter Strecke geht es 10 m hinauf. Welchen Steigungswinkel hat er?

● 45°
○ 90°
○ 100°

100 % heißt tan α = 10/10 = 1, also α = 45°. Senkrecht (90°) wäre gar keine Steigung mehr, sondern eine Wand.

Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Eine Steigung von 12 % bedeutet einen Steigungswinkel von 12°.

✓ Falsch

12 % heißt tan α = 0,12, also α ≈ 6,8°. Prozent und Grad sind zwei verschiedene Maße für dieselbe Steigung.

Im Bild tippen #9 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die in tan α im Zähler steht.

✓ Antwort: HI

tan α = Gegenkathete / Ankathete. Im Zähler steht die Gegenkathete — die Seite gegenüber α bei G, also HI. GH liegt an α an (Nenner), GI ist die Hypotenuse und kommt im Tangens gar nicht vor.

Im Bild tippen #10 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die in tan α im Nenner steht.

✓ Antwort: UW

Im Nenner steht die Ankathete — die Kathete, die an α bei U anliegt, hier die kurze waagrechte Seite UW. Die lange senkrechte Seite VW liegt α gegenüber und steht im Zähler; UV ist die Hypotenuse.

Im Bild tippen #11 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die in tan β im Nenner steht.

✓ Antwort: NP

β sitzt bei P. Von P gehen NP und MP aus; MP liegt dem rechten Winkel bei N gegenüber und ist die Hypotenuse. Also ist NP die Ankathete von β und steht im Nenner. MN liegt β gegenüber (Zähler).

Multiple Choice #12 25s ▶ Testen

Welches der beiden Dreiecke hat den größeren Wert tan α?

○ das linke
● das rechte
○ beide denselben

Links ist tan α = 4/8 = 0,5, rechts 2,4/3 = 0,8. Das rechte Dreieck ist kleiner, aber steiler — der Tangens misst das Verhältnis der Katheten, nicht die Größe.

Multiple Choice #13 25s ▶ Testen

Welches der beiden Dreiecke hat den größeren Wert tan α?

○ das linke
○ das rechte
● beide denselben

Links 2/3, rechts 4/6 = 2/3. Das rechte Dreieck ist das linke, doppelt so groß — gleicher Winkel, gleicher Tangens.

Multiple Choice #14 25s ▶ Testen

Die Gegenkathete von α ist 3 cm lang, die Ankathete 5 cm. Welche Eingabe liefert α?

● tan⁻¹(3 ÷ 5)
○ tan⁻¹(5 ÷ 3)
○ 1 ÷ tan(3 ÷ 5)

tan α = 3/5 = 0,6, also α = tan⁻¹(0,6) ≈ 31,0°. Mit 5 ÷ 3 bekommst du den anderen spitzen Winkel (≈ 59,0°). 1 ÷ tan bildet einen Kehrwert und macht den Tangens nicht rückgängig.

Wahr / Falsch #15 20s ▶ Testen

Zu tan α = 2 gibt es keinen spitzen Winkel α.

✓ Falsch

Der Tangens ist nicht durch 1 beschränkt. tan⁻¹(2) ≈ 63,4° — die Gegenkathete ist dann doppelt so lang wie die Ankathete.

Mittel

Zahleneingabe #1 10s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete a = 6 cm und die Ankathete b = 6 cm. Berechne tan α.

✓ Antwort: 1

tan α = a/b = 6/6 = 1. Das bedeutet α = 45°.

Lückentext #2 15s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete a = 6 cm und die Ankathete b = 8 cm. Dann gilt: tan α = ___

✓ Antwort: 0,75

tan α = a/b = 6/8 = 0,75.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Für einen Hang ist tan α = 0,25. Wie viel Prozent Steigung sind das?

✓ Antwort: 25

Steigung in Prozent = tan α · 100 % = 0,25 · 100 % = 25 %.

Lückentext #4 20s ▶ Testen

Ergänze: 100 % Steigung heißt ein Steigungswinkel von ___ °

✓ Antwort: 45

100 % bedeutet tan α = 1, und tan 45° = 1.

Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

tan α = 0,75. Berechne α (in Grad, auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 36.9

α = tan⁻¹(0,75) ≈ 36,9°.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Eine Treppe überbrückt eine Geschosshöhe von 3,20 m; für die Ausladung stehen 4,50 m zur Verfügung. Unter welchem Steigungswinkel wird die Treppenwange zugeschnitten (in Grad, auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 35.4

tan α = 3,20 m / 4,50 m ≈ 0,711, also α = tan⁻¹(0,711) ≈ 35,4°.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Seiten 7 cm und 18 cm. Welchen Winkel schließt eine Diagonale mit der langen Seite ein (in Grad, auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 21.3

Die kurze Seite liegt dem gesuchten Winkel gegenüber, die lange liegt an. tan α = 7/18 ≈ 0,389, also α ≈ 21,3°.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Im selben Rechteck mit den Seiten 7 cm und 18 cm — welchen Winkel schließt die Diagonale mit der kurzen Seite ein (in Grad, auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 68.7

Jetzt ist die lange Seite die Gegenkathete. tan β = 18/7 ≈ 2,571, also β ≈ 68,7°. Probe: 21,3° + 68,7° = 90°.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 32° und die Ankathete b = 9 cm. Berechne die Gegenkathete a in cm (auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 5.6

tan 32° ≈ 0,625, also a = 9 cm · 0,625 ≈ 5,6 cm.

Zahleneingabe #5 35s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck ist α = 55° und die Gegenkathete a = 7 cm. Berechne die Ankathete b in cm (auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 4.9

tan 55° ≈ 1,428, also b = 7 cm / 1,428 ≈ 4,9 cm. Hier steht die gesuchte Größe im Nenner — es wird dividiert, nicht multipliziert.

Zahleneingabe #6 40s ▶ Testen

Ein Verkehrsschild meldet 12 % Steigung — auf 100 m waagrechter Strecke geht es 12 m hinauf. Wie groß ist der Steigungswinkel (in Grad, auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 6.8

Die Prozentangabe ist genau tan α = 12/100 = 0,12, also α = tan⁻¹(0,12) ≈ 6,8°. Der Tangens ist die Steigung aus Jgst. 8.

KI-bewertete Rechnung #7 180s ▶ Testen

Eine Treppe überbrückt 3,20 m Geschosshöhe bei 4,50 m Ausladung. Zeichne eine Skizze, benenne Gegenkathete und Ankathete und berechne den Steigungswinkel mit tan⁻¹. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit der Höhe 3,20 m als Gegenkathete und der Ausladung 4,50 m als Ankathete. tan α = 3,20/4,50 ≈ 0,711, also α = tan⁻¹(0,711) ≈ 35,4°.

Beide gegebenen Längen sind Katheten — deshalb der Tangens. α ≈ 35,4°.

KI-bewertete Rechnung #8 240s ▶ Testen

Zeichne ein Rechteck mit den Seiten a = 7 cm und b = 18 cm, ziehe eine Diagonale ein und berechne beide Winkel, die sie mit den Seiten einschließt. Prüfe am Ende, ob die Summe 90° ergibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: tan α = 7/18 ≈ 0,389, also α ≈ 21,3°. tan β = 18/7 ≈ 2,571, also β ≈ 68,7°. Probe: 21,3° + 68,7° = 90°.

Die Diagonale zerlegt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich zu 90° — das ist zugleich die Probe.

Zahleneingabe #9 40s ▶ Testen

Eine Skipiste fällt unter 20°. Wie viel Prozent Gefälle sind das (auf 1 % genau)?

✓ Antwort: 36

tan 20° ≈ 0,364, also 0,364 · 100 % ≈ 36 %. Auf 100 m waagrechter Strecke geht es 36 m hinunter.

Zahleneingabe #10 35s ▶ Testen

Eine Rampe steigt auf 6 m waagrechter Länge um 0,5 m an. Unter welchem Winkel steigt sie (in Grad, auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 4.8

Beide Längen sind Katheten, also tan α = 0,5/6 ≈ 0,083 und α = tan⁻¹(0,083) ≈ 4,8°.