Doppelt gezählt — die Summenformel
Zeitung A lesen 20 Personen, Zeitung B lesen 14. Zusammen gibt es 29 verschiedene Leser, aber 20 + 14 = 34. Für wie viele Personen ist die Summe 34 zu groß?
Erklärung: Die Summe 34 zählt jeden Leser beider Zeitungen zweimal. Sie ist um 34 − 29 = 5 zu groß, so viele Personen liegen im Überlapp. Die 9 ist nur der Bereich „nur B“ (29 − 20), die 14 der ganze Kreis B.
Anna spielt Fußball und Basketball. In der Summe |A| + |B| wird Anna zweimal gezählt.
Erklärung: Anna liegt im Kreis A und im Kreis B, wird also bei |A| und bei |B| mitgezählt: zweimal.
8 Personen spielen Geige (A), 9 spielen Cello (B), niemand spielt beides. Dann zählt 8 + 9 jemanden doppelt.
Erklärung: Doppelt gezählt wird nur, wer in beiden Kreisen liegt. Hier ist der Überlapp leer, also sind es 8 + 9 = 17 verschiedene Personen.
Es ist |A| = 15, |B| = 9, und 4 Personen liegen in beiden Kreisen. Wie viele Personen zählt 15 + 9 doppelt?
Erklärung: Doppelt gezählt werden genau die Personen im Überlapp: 4.
Man rechnet 15 + 9 = 24 und weiß, dass dabei 4 Personen doppelt gezählt wurden. Wie viele verschiedene Personen sind es?
Erklärung: Von 24 Zählungen sind 4 überflüssig, weil sie dieselben Personen noch einmal zählen: 24 − 4 = 20.
Es ist |A| = 15, |B| = 9 und |A ∩ B| = 4. Welche Rechnung gibt |A ∪ B|?
Erklärung: Man addiert die Kreiszahlen und zieht den doppelt gezählten Überlapp einmal ab: 15 + 9 − 4 = 20. Ohne Abzug bleibt die Doppelzählung, mit „+ 4“ wird sie noch größer.
Es ist |A| = 40, |B| = 25 und |A ∩ B| = 10. Wie groß ist |A ∪ B|?
Erklärung: 40 + 25 − 10 = 55. Die 65 zählt den Überlapp doppelt, und die 45 zieht ihn zweimal ab, obwohl er nur einmal zu viel gezählt wurde.
Es ist |A| = 12, |B| = 7 und |A ∩ B| = 3. Dann ist |A ∪ B| = 22.
Erklärung: 12 + 7 − 3 = 16. Die 22 entsteht, wenn man den Überlapp addiert statt abzieht.
Es ist |A| = 32, |B| = 21 und |A ∩ B| = 11. Wie groß ist |A ∪ B|?
Erklärung: 32 + 21 − 11 = 42.
Auf einem Schulfest waren 120 Besucher. 75 kauften Kuchen, 60 kauften Waffeln, 35 kauften beides. Wie viele Besucher kauften Kuchen oder Waffeln?
Erklärung: Kuchen oder Waffeln ist die Vereinigung: 75 + 60 − 35 = 100. Die 35 kauften beides und stecken in beiden Kreiszahlen. Die 120 Besucher sind ganz Ω.
Es ist |A| = 20, |B| = 14 und |A ∪ B| = 29. Welche Rechnung gibt |A ∩ B|?
Erklärung: Die Summe 20 + 14 = 34 ist um den Überlapp größer als 29: 34 − 29 = 5. Die zweite Rechnung liefert −5 (Vorzeichen vertauscht), die dritte den Bereich „nur B“ (9).
Es ist |A| = 18, |B| = 15 und |A ∪ B| = 26. Dann ist |A ∩ B| = 7.
Erklärung: 18 + 15 − 26 = 7. Die Summe 33 überschreitet die 26 verschiedenen Personen genau um den Überlapp.
Es ist |A| = 12, |B| = 15 und |A ∪ B| = 22. Wie groß ist |A ∩ B|?
Erklärung: 12 + 15 = 27 zählt den Überlapp doppelt, die Vereinigung ist 22. Der Unterschied 27 − 22 = 5 ist der Überlapp. Die 7 wäre 22 − 15, der Bereich „nur A“, und 27 die Summe der Kreiszahlen.
Es ist |A| = 27, |B| = 18 und |A ∪ B| = 40. Wie groß ist |A ∩ B|?
Erklärung: 27 + 18 − 40 = 5.
In einer Klasse mit 30 lernen alle mindestens eine der beiden Sprachen: 22 Französisch, 15 Latein. Wie viele lernen beide?
Erklärung: Alle 30 gehören zu „Französisch oder Latein“, also |A ∪ B| = 30. Dann ist |A ∩ B| = 22 + 15 − 30 = 7.
Von 34 Personen sehen 5 weder Kino noch Streaming. 20 gehen ins Kino, 18 streamen. Wie viele tun beides?
Erklärung: Kino oder Streaming sind 34 − 5 = 29 Personen. Der Überlapp ist 20 + 18 − 29 = 9.
Ein Verein hat 80 Mitglieder. 46 spielen Fußball, 38 spielen Tischtennis, 12 machen keines von beiden. Bestimme mit der Summenformel, wie viele Mitglieder beides spielen, und zeichne das Mengendiagramm mit allen vier Bereichen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zuerst die Vereinigung: 68 spielen Fußball oder Tischtennis. Die Kreiszahlen 46 + 38 = 84 übersteigen sie um 16: So viele spielen beides.