Doppelt gezählt — die Summenformel

Counted Twice — the Sum Formula

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben
WahrscheinlichkeitMengenEin-/Ausschlussprinzip

Addiert man |A| + |B|, zählt man alle Personen im Überlapp zweimal, deshalb ist 18 + 12 = 30 mehr als die 25 verschiedenen Personen. Die Summenformel |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| zieht den Schnitt einmal ab. Der Abschnitt räumt den häufigsten Fehler aus, die beiden Kreiszahlen einfach zu addieren, und zeigt, dass man die Formel auch umstellen kann: Aus |A|, |B| und |A ∪ B| folgt |A ∩ B|. Das bereitet die Wahrscheinlichkeitsformel vor, die man durch Teilen aller Zahlen durch die Gesamtzahl erhält.

Bisher haben wir das Ergebnis 25 aus dem Diagramm direkt abgelesen. Gibt es auch eine Formel, mit der wir |A ∪ B| ohne das Bild bestimmen können? Probieren wir es:

|A|  +  |B|  =  18 + 12  =  30

Aber im Diagramm zählen wir nur 25 verschiedene Personen! Es fehlen 5. Wo ist der Fehler?

Schau dir das Mengendiagramm noch einmal an: Die 5 Personen, die beides spielen, gehören sowohl zu A als auch zu B. Wenn wir |A| + |B| rechnen, werden sie zweimal mitgezählt — einmal als Fußballspieler und einmal als Basketballspieler.

Streifen auf derselben Skala: |A| = 13 + 5 und |B| = 5 + 7 überlappen sich in 5, |A ∪ B| ist 25 lang; |A| + |B| ist 30 lang, weil die 5 im Überlapp zweimal vorkommen|A|135|B|57|A ∪ B|1357|A| + |B|1355725
Legt man |A| und |B| übereinander, überlappen sie in den 5 Personen des Schnitts. In |A| + |B| kommen diese 5 zweimal vor, deshalb ist die Summe 30 statt 25 lang.

Um das auszugleichen, müssen wir die Schnittmenge einmal abziehen:

|A ∪ B|  =  |A|  +  |B|  −  |A ∩ B|

Setzen wir unsere Zahlen ein:

|A ∪ B| = 18 + 12 − 5 = 25 ✓

Diese Regel heißt Inklusions-Exklusions-Formel (oder kürzer: Summenformel). Probiere unten verschiedene Zahlen aus — das Diagramm und die Formel passen sich live an.

Verschiebe die Schieber und beobachte: Je größer die Schnittmenge, desto stärker wirkt der Korrekturterm.

Umgekehrt geht es auch: Kennt man |A|, |B| und |A ∪ B|, folgt der Schnitt aus der umgestellten Formel |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| = 18 + 12 − 25 = 5. Die Summe 30 ist um genau so viele zu groß, wie Personen doppelt gezählt wurden.

Voraussetzungen (1)

Vereinigungsmenge — A oder B
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Von Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 35s ▶ Testen

Zeitung A lesen 20 Personen, Zeitung B lesen 14. Zusammen gibt es 29 verschiedene Leser, aber 20 + 14 = 34. Für wie viele Personen ist die Summe 34 zu groß?

  • ○ 9
  • ○ 14
  • ● 5
Die Summe 34 zählt jeden Leser beider Zeitungen zweimal. Sie ist um 34 − 29 = 5 zu groß, so viele Personen liegen im Überlapp. Die 9 ist nur der Bereich „nur B“ (29 − 20), die 14 der ganze Kreis B.
Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Anna spielt Fußball und Basketball. In der Summe |A| + |B| wird Anna zweimal gezählt.

✓ Wahr
Anna liegt im Kreis A und im Kreis B, wird also bei |A| und bei |B| mitgezählt: zweimal.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

8 Personen spielen Geige (A), 9 spielen Cello (B), niemand spielt beides. Dann zählt 8 + 9 jemanden doppelt.

✓ Falsch
Doppelt gezählt wird nur, wer in beiden Kreisen liegt. Hier ist der Überlapp leer, also sind es 8 + 9 = 17 verschiedene Personen.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Es ist |A| = 15, |B| = 9 und |A ∩ B| = 4. Welche Rechnung gibt |A ∪ B|?

  • ● 15 + 9 − 4
  • ○ 15 + 9 + 4
  • ○ 15 + 9
Man addiert die Kreiszahlen und zieht den doppelt gezählten Überlapp einmal ab: 15 + 9 − 4 = 20. Ohne Abzug bleibt die Doppelzählung, mit „+ 4“ wird sie noch größer.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Es ist |A| = 40, |B| = 25 und |A ∩ B| = 10. Wie groß ist |A ∪ B|?

  • ○ 65
  • ● 55
  • ○ 45
40 + 25 − 10 = 55. Die 65 zählt den Überlapp doppelt, und die 45 zieht ihn zweimal ab, obwohl er nur einmal zu viel gezählt wurde.
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Es ist |A| = 12, |B| = 7 und |A ∩ B| = 3. Dann ist |A ∪ B| = 22.

✓ Falsch
12 + 7 − 3 = 16. Die 22 entsteht, wenn man den Überlapp addiert statt abzieht.
Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Es ist |A| = 20, |B| = 14 und |A ∪ B| = 29. Welche Rechnung gibt |A ∩ B|?

  • ○ 29 − 20 − 14
  • ○ 29 − 20
  • ● 20 + 14 − 29
Die Summe 20 + 14 = 34 ist um den Überlapp größer als 29: 34 − 29 = 5. Die zweite Rechnung liefert −5 (Vorzeichen vertauscht), die dritte den Bereich „nur B“ (9).
Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Es ist |A| = 18, |B| = 15 und |A ∪ B| = 26. Dann ist |A ∩ B| = 7.

✓ Wahr
18 + 15 − 26 = 7. Die Summe 33 überschreitet die 26 verschiedenen Personen genau um den Überlapp.
Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Es ist |A| = 12, |B| = 15 und |A ∪ B| = 22. Wie groß ist |A ∩ B|?

  • ● 5
  • ○ 7
  • ○ 27
12 + 15 = 27 zählt den Überlapp doppelt, die Vereinigung ist 22. Der Unterschied 27 − 22 = 5 ist der Überlapp. Die 7 wäre 22 − 15, der Bereich „nur A“, und 27 die Summe der Kreiszahlen.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Es ist |A| = 15, |B| = 9, und 4 Personen liegen in beiden Kreisen. Wie viele Personen zählt 15 + 9 doppelt?

✓ Antwort: 4
Doppelt gezählt werden genau die Personen im Überlapp: 4.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Es ist |A| = 32, |B| = 21 und |A ∩ B| = 11. Wie groß ist |A ∪ B|?

✓ Antwort: 42
32 + 21 − 11 = 42.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Es ist |A| = 27, |B| = 18 und |A ∪ B| = 40. Wie groß ist |A ∩ B|?

✓ Antwort: 5
27 + 18 − 40 = 5.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Man rechnet 15 + 9 = 24 und weiß, dass dabei 4 Personen doppelt gezählt wurden. Wie viele verschiedene Personen sind es?

✓ Antwort: 20
Von 24 Zählungen sind 4 überflüssig, weil sie dieselben Personen noch einmal zählen: 24 − 4 = 20.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Auf einem Schulfest waren 120 Besucher. 75 kauften Kuchen, 60 kauften Waffeln, 35 kauften beides. Wie viele Besucher kauften Kuchen oder Waffeln?

✓ Antwort: 100
Kuchen oder Waffeln ist die Vereinigung: 75 + 60 − 35 = 100. Die 35 kauften beides und stecken in beiden Kreiszahlen. Die 120 Besucher sind ganz Ω.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

In einer Klasse mit 30 lernen alle mindestens eine der beiden Sprachen: 22 Französisch, 15 Latein. Wie viele lernen beide?

✓ Antwort: 7
Alle 30 gehören zu „Französisch oder Latein“, also |A ∪ B| = 30. Dann ist |A ∩ B| = 22 + 15 − 30 = 7.
Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Von 34 Personen sehen 5 weder Kino noch Streaming. 20 gehen ins Kino, 18 streamen. Wie viele tun beides?

✓ Antwort: 9
Kino oder Streaming sind 34 − 5 = 29 Personen. Der Überlapp ist 20 + 18 − 29 = 9.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein Verein hat 80 Mitglieder. 46 spielen Fußball, 38 spielen Tischtennis, 12 machen keines von beiden. Bestimme mit der Summenformel, wie viele Mitglieder beides spielen, und zeichne das Mengendiagramm mit allen vier Bereichen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Fußball oder Tischtennis: 80 − 12 = 68. Aus 68 = 46 + 38 − |A ∩ B| folgt |A ∩ B| = 46 + 38 − 68 = 16. Diagramm: nur Fußball 46 − 16 = 30, beides 16, nur Tischtennis 38 − 16 = 22, keines 12; Summe 80.
Zuerst die Vereinigung: 68 spielen Fußball oder Tischtennis. Die Kreiszahlen 46 + 38 = 84 übersteigen sie um 16: So viele spielen beides.