Von Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten
Aus den 50 Personen der Tafel wird eine zufällig ausgewählt. Wie groß ist P(A ∩ B)?
Erklärung: Das Feld A ∩ B hat 10 der 50 Personen: 10 : 50 = 0,2. Die 0,33 entsteht, wenn man durch die Zeilensumme 30 teilt, die 0,67, wenn man durch die Spaltensumme 15 teilt. Beides sind nicht die Gesamtzahl.
Bei den 50 Personen der Tafel gilt P(Ā ∩ B̄) = 15 : 20 = 0,75.
Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit eines Feldes teilt man durch die Gesamtzahl 50, nicht durch die Zeilensumme 20: 15 : 50 = 0,3.
Aus den 50 Personen wird eine zufällig ausgewählt. Wie groß ist P(A)?
Erklärung: P(A) gehört zur ganzen Zeile A: 30 : 50 = 0,6. Die 0,4 ist nur das Feld A ∩ B̄ (20 : 50), die 0,2 nur das Feld A ∩ B (10 : 50).
Wie groß ist P(Ā ∩ B), also die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person Ā und B erfüllt?
Erklärung: Das Feld Ā ∩ B zählt 5 Personen: 5 : 50 = 0,1.
Bei einer Umfrage gilt P(A ∩ B) = 0,35. Wie viele von 120 Befragten erwartet man im Feld A ∩ B?
Erklärung: Wahrscheinlichkeit mal Gesamtzahl: 0,35 · 120 = 42. Das ist die Umkehrung von „Feld : Gesamtzahl“.
Es ist P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 und P(A ∩ B) = 0,1. Wie groß ist P(A ∪ B)?
Erklärung: P(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 − 0,1 = 0,7. Die 0,8 vergisst den Abzug des Schnitts, die 0,6 zieht ihn zweimal ab.
Es ist P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 und P(A ∩ B) = 0,2. Dann ist P(A ∪ B) = 0,7.
Erklärung: 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7.
Eine Urne enthält Kugeln mit den Zahlen 1 bis 10. A: Zahl gerade, B: Zahl durch 3 teilbar, die 6 erfüllt beides. Wie groß ist P(A ∪ B)?
Erklärung: P(A) = 5/10 (2, 4, 6, 8, 10), P(B) = 3/10 (3, 6, 9), P(A ∩ B) = 1/10 (nur die 6). Also 5/10 + 3/10 − 1/10 = 7/10. Ohne Abzug erhielte man 8/10, weil die 6 doppelt gezählt würde.
Es ist P(A) = 0,45, P(B) = 0,35 und P(A ∩ B) = 0,15. Wie groß ist P(A ∪ B)?
Erklärung: 0,45 + 0,35 − 0,15 = 0,65.
62 % der Jugendlichen nutzen App A, 48 % nutzen App B, 31 % nutzen beide. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person mindestens eine der beiden Apps nutzt (als Dezimalzahl)?
Erklärung: Mindestens eine ist die Vereinigung: 0,62 + 0,48 − 0,31 = 0,79. Die 31 % nutzen beide und stecken in beiden Prozentzahlen.
Die Tafel zeigt Wahrscheinlichkeiten. Wie groß ist P(A ∪ B)?
Erklärung: P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,60 + 0,30 − 0,20 = 0,70. Zur Kontrolle: Alle Felder außer Ā ∩ B̄ ergeben 0,20 + 0,40 + 0,10 = 0,70.
Es ist P(A ∪ B) = 0,79. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B eintritt?
Erklärung: Weder A noch B ist das Gegenteil von „A oder B“: 1 − 0,79 = 0,21. Die 0,79 ist die Wahrscheinlichkeit für „A oder B“ selbst, und 1,79 übersteigt 1, so groß kann keine Wahrscheinlichkeit sein.
Es ist P(A ∪ B) = 0,4. Dann tritt weder A noch B mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 ein.
Erklärung: 1 − 0,4 = 0,6.
Aus den 50 Personen der Tafel wird eine zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie weder A noch B erfüllt?
Erklärung: Weder A noch B ist das Feld Ā ∩ B̄ mit 15 Personen: 15 : 50 = 0,3. Die 0,7 ist P(A ∪ B) = 35 : 50, also das Gegenteil, und die 0,4 ist P(Ā) = 20 : 50, die ganze Zeile Ā.
Es ist P(A ∪ B) = 0,64. Wie groß ist P(weder A noch B)?
Erklärung: 1 − 0,64 = 0,36.
Es ist P(A) = 0,30, P(B) = 0,25 und P(A ∩ B) = 0,10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B eintritt?
Erklärung: Zuerst die Vereinigung: 0,30 + 0,25 − 0,10 = 0,45. Dann das Gegenteil: 1 − 0,45 = 0,55.
In einer Stadt haben 40 % der Haushalte einen Hund, 30 % eine Katze und 12 % beides. Ein Haushalt wird zufällig ausgewählt. Bestimme mit der Formel P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens eines dieser beiden Tiere hat, und dann die Wahrscheinlichkeit, dass er keines von beiden hat.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Mindestens ein Tier ist „Hund oder Katze“. Die 12 % mit beiden Tieren stecken in den 40 % und in den 30 % und werden deshalb einmal abgezogen. Das Gegenteil ergänzt auf 1.