Von Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten
From Frequencies to Probabilities
Wählt man aus einer Gruppe zufällig eine Person, sind die relativen Häufigkeiten der Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: Feld geteilt durch Gesamtzahl. Teilt man die Summenformel durch die Gesamtzahl, folgt P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Der Abschnitt räumt aus, durch die Zeilensumme statt durch die Gesamtzahl zu teilen oder P(A ∩ B) beim Addieren zu vergessen, und zeigt mit P(weder A noch B) = 1 − P(A ∪ B) den Weg zum Gegenteil. Er bereitet den Sonderfall disjunkter Ereignisse und später die bedingte Wahrscheinlichkeit vor.
Die Vierfeldertafel zeigt absolute Häufigkeiten — also reine
Anzahlen. Wenn wir nun zufällig eine Schülerin oder einen Schüler aus der
Klasse wählen, können wir die Tafel direkt in
Die Idee aus der Klasse 8 (Laplace-Wahrscheinlichkeit) gilt weiter:
Wir teilen also jede Zahl der Tafel durch 30. Aus Häufigkeiten werden so relative Häufigkeiten — und das sind genau die Wahrscheinlichkeiten unseres Zufallsexperiments „eine Person rein zufällig auswählen“:
Damit folgt die wichtige Regel direkt aus der Summenformel — wir teilen einfach jede Seite durch die Gesamtzahl:
Das ist genau dieselbe Formel wie für die Anzahlen — nur jetzt für Wahrscheinlichkeiten. In unserem Beispiel:
P(A ∪ B) = 0,60 + 0,40 − 0,17 ≈ 0,83
Mit Wahrscheinlichkeit etwa 83 % trifft man also einen Schüler oder eine Schülerin, der bzw. die mindestens eine der beiden Sportarten betreibt.
Auch das Gegenteil bekommst du geschenkt. Die Wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B eintritt, ist der Rest bis 1:
P(weder A noch B) = 1 −
Das passt zur Tafel: 5 von 30 Personen liegen außerhalb der Kreise, 5 : 30 ≈ 0,17.
Voraussetzungen (2)
Ermöglicht (1)
Aus den 50 Personen der Tafel wird eine zufällig ausgewählt. Wie groß ist P(A ∩ B)?
Bei den 50 Personen der Tafel gilt P(Ā ∩ B̄) = 15 : 20 = 0,75.
Aus den 50 Personen wird eine zufällig ausgewählt. Wie groß ist P(A)?
Es ist P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 und P(A ∩ B) = 0,1. Wie groß ist P(A ∪ B)?
Es ist P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 und P(A ∩ B) = 0,2. Dann ist P(A ∪ B) = 0,7.
Eine Urne enthält Kugeln mit den Zahlen 1 bis 10. A: Zahl gerade, B: Zahl durch 3 teilbar, die 6 erfüllt beides. Wie groß ist P(A ∪ B)?
Es ist P(A ∪ B) = 0,79. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B eintritt?
Es ist P(A ∪ B) = 0,4. Dann tritt weder A noch B mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 ein.
Aus den 50 Personen der Tafel wird eine zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie weder A noch B erfüllt?
Wie groß ist P(Ā ∩ B), also die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person Ā und B erfüllt?
Es ist P(A) = 0,45, P(B) = 0,35 und P(A ∩ B) = 0,15. Wie groß ist P(A ∪ B)?
Es ist P(A ∪ B) = 0,64. Wie groß ist P(weder A noch B)?
Bei einer Umfrage gilt P(A ∩ B) = 0,35. Wie viele von 120 Befragten erwartet man im Feld A ∩ B?
62 % der Jugendlichen nutzen App A, 48 % nutzen App B, 31 % nutzen beide. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person mindestens eine der beiden Apps nutzt (als Dezimalzahl)?
Die Tafel zeigt Wahrscheinlichkeiten. Wie groß ist P(A ∪ B)?
Es ist P(A) = 0,30, P(B) = 0,25 und P(A ∩ B) = 0,10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B eintritt?
In einer Stadt haben 40 % der Haushalte einen Hund, 30 % eine Katze und 12 % beides. Ein Haushalt wird zufällig ausgewählt. Bestimme mit der Formel P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens eines dieser beiden Tiere hat, und dann die Wahrscheinlichkeit, dass er keines von beiden hat. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.