Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse
Würfelwurf: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}. Welche Menge ist A ∩ B?
Erklärung: A ∩ B (Schnittmenge) enthält genau die Ergebnisse, die zu beiden Ereignissen gehören: 3 und 4. {1, …, 6} ist die Vereinigung A ∪ B; {1, 2, 5, 6} sind die Ergebnisse, die nur in einem der beiden liegen.
Was bedeutet A ∪ B?
Erklärung: A ∪ B (Vereinigungsmenge) enthält alle Ergebnisse, die zu A oder B oder beiden gehören.
Die Formel für die Vereinigungswahrscheinlichkeit lautet: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ___ B).
Erklärung: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Man subtrahiert die Schnittmenge, um Doppelzählung zu vermeiden.
P(A) = 0,4 und P(B) = 0,3 und P(A ∩ B) = 0,1. Berechne P(A ∪ B).
Erklärung: P(A ∪ B) = 0,4 + 0,3 − 0,1 = 0,6.
In einer Klasse mit 30 Schülern spielen 18 Fußball, 12 Basketball, und 5 beides. Wie viele spielen mindestens eine der beiden Sportarten?
Erklärung: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 18 + 12 − 5 = 25.
In der gleichen Klasse (30 Schüler): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Schüler mindestens eine Sportart betreibt? (Angabe als Dezimalzahl, auf 2 Stellen gerundet)
Erklärung: P(A ∪ B) = 25/30 = 5/6 ≈ 0,83.
Eine Vierfeldertafel zeigt folgende Häufigkeiten: A∩B = 10, A∩B̄ = 20, Ā∩B = 15, Ā∩B̄ = 5. Wie groß ist P(A)?
Erklärung: Gesamt = 10 + 20 + 15 + 5 = 50. |A| = 10 + 20 = 30. P(A) = 30/50 = 0,6.
Aus derselben Vierfeldertafel: Berechne P(A ∩ B).
Erklärung: P(A ∩ B) = 10/50 = 0,2.
Wenn A und B disjunkte Ereignisse sind (A ∩ B = ∅), gilt: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Erklärung: Richtig. Bei disjunkten Ereignissen ist P(A ∩ B) = 0, also vereinfacht sich die Formel zu P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Beim Würfeln: A = {gerade Zahl}, B = {Zahl > 4}. Berechne P(A ∪ B). (Als Bruch: Zähler bei Nenner 6)
Erklärung: A = {2,4,6}, B = {5,6}. A ∩ B = {6}. P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6.
In einem Mengendiagramm überlappen sich die Kreise von A und B. Die Überlappung stellt dar:
Erklärung: Die Überlappung zweier Kreise im Mengendiagramm (Venn-Diagramm) zeigt die Schnittmenge A ∩ B.
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, P(A ∪ B) = 0,7. Berechne P(A ∩ B).
Erklärung: Aus P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) folgt: P(A ∩ B) = 0,5 + 0,4 − 0,7 = 0,2.
P(A ∪ B) kann niemals größer als 1 sein.
Erklärung: Richtig. Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1. A ∪ B ist eine Teilmenge des Ergebnisraums.
In einer Umfrage unter 100 Personen lesen 60 Zeitung A, 45 Zeitung B, 20 lesen beide. Wie viele lesen keine der beiden?
Erklärung: |A ∪ B| = 60 + 45 − 20 = 85. Keine = 100 − 85 = 15.
Zwei Ereignisse A und B sind unvereinbar. P(A) = 0,35, P(B) = 0,25. Berechne P(A ∪ B).
Erklärung: Unvereinbar bedeutet A ∩ B = ∅, also P(A ∩ B) = 0. P(A ∪ B) = 0,35 + 0,25 = 0,6.
Eine Tabelle mit den vier Feldern A∩B, A∩B̄, Ā∩B, Ā∩B̄ heißt ___.
Erklärung: Die Vierfeldertafel ordnet die absoluten (oder relativen) Häufigkeiten übersichtlich in vier Felder an.