Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse

Probability of Compound Events

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben
WahrscheinlichkeitStatistikMengenZusammenfassung

Der Abschluss fasst den Lesetext zusammen: die Begriffe Schnittmenge, Vereinigungsmenge und Gegenereignis, die Summenformel P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) für Häufigkeiten wie für Wahrscheinlichkeiten und ihren Sonderfall bei disjunkten Ereignissen. Er stellt Mengendiagramm und Vierfeldertafel als zwei Sichten auf dieselben Daten nebeneinander und gibt ein Fünf-Schritte-Vorgehen für Textaufgaben. Der Abschnitt ist ein reiner Lesetext, der das Gelernte bündelt und auf die bedingte Wahrscheinlichkeit in der Jahrgangsstufe 11 vorausweist.

Wir haben jetzt zwei mächtige Werkzeuge, um zwei verknüpfte Ereignisse zu beschreiben — und genau eine Formel, die sie zusammenhält.

Die wichtigsten Begriffe

  • A ∩ B — Schnittmenge: A und B treten beide ein.
  • A ∪ B — Vereinigungsmenge: A oder B (oder beides) tritt ein.
  • Ā — Gegenereignis: A tritt nicht ein.

Die Inklusions-Exklusions-Formel

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Sie funktioniert wörtlich genauso für absolute Häufigkeiten: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Bei disjunkten Ereignissen verschwindet der letzte Term.

Zwei Darstellungen — eine Idee

Mengendiagramm und Vierfeldertafel zeigen dieselben Daten aus zwei Perspektiven. Beide darfst du in Aufgaben einsetzen — und je nach Information, die gegeben ist, ist mal die eine, mal die andere bequemer.

  • Mengendiagramm — gut zum schnellen Visualisieren von „und/oder/weder/noch“.
  • Vierfeldertafel — ideal, um aus Teilangaben die fehlenden Felder Schritt für Schritt auszufüllen.

Vorgehen bei Textaufgaben

  1. Identifiziere die zwei Merkmale A und B (und ihre Gegenereignisse Ā, B̄).
  2. Übertrage die gegebenen Zahlen in eine Vierfeldertafel.
  3. Fülle die fehlenden Felder über Zeilen-/Spaltensummen aus.
  4. Lies oder berechne die gefragte Wahrscheinlichkeit.
  5. Teste mit der Inklusions-Exklusions-Formel, ob alles stimmt.

Im nächsten Schritt — der Klasse 11 — wirst du sehen, wie diese Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit PB(A) führt. Aber das ist eine andere Geschichte.

Voraussetzungen (1)

Disjunkte Ereignisse
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 12s ▶ Testen

Würfelwurf: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}. Welche Menge ist A ∩ B?

  • ○ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • ● {3, 4}
  • ○ {1, 2, 5, 6}
A ∩ B (Schnittmenge) enthält genau die Ergebnisse, die zu beiden Ereignissen gehören: 3 und 4. {1, …, 6} ist die Vereinigung A ∪ B; {1, 2, 5, 6} sind die Ergebnisse, die nur in einem der beiden liegen.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Was bedeutet A ∪ B?

  • ○ A und B gleichzeitig
  • ● A oder B (oder beides)
  • ○ Nur A, nicht B
  • ○ Weder A noch B
A ∪ B (Vereinigungsmenge) enthält alle Ergebnisse, die zu A oder B oder beiden gehören.
Lückentext #3 15s ▶ Testen

Die Formel für die Vereinigungswahrscheinlichkeit lautet: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ___ B).

✓ Antwort: ∩
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Man subtrahiert die Schnittmenge, um Doppelzählung zu vermeiden.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

P(A) = 0,4 und P(B) = 0,3 und P(A ∩ B) = 0,1. Berechne P(A ∪ B).

✓ Antwort: 0.6
P(A ∪ B) = 0,4 + 0,3 − 0,1 = 0,6.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

In einer Klasse mit 30 Schülern spielen 18 Fußball, 12 Basketball, und 5 beides. Wie viele spielen mindestens eine der beiden Sportarten?

✓ Antwort: 25
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 18 + 12 − 5 = 25.
Zahleneingabe #6 15s ▶ Testen

Aus derselben Vierfeldertafel: Berechne P(A ∩ B).

✓ Antwort: 0.2
P(A ∩ B) = 10/50 = 0,2.
Multiple Choice #7 15s ▶ Testen

In einem Mengendiagramm überlappen sich die Kreise von A und B. Die Überlappung stellt dar:

  • ○ A ∪ B
  • ● A ∩ B
  • ○ A \ B
  • ○ Ā
Die Überlappung zweier Kreise im Mengendiagramm (Venn-Diagramm) zeigt die Schnittmenge A ∩ B.
Wahr / Falsch #8 10s ▶ Testen

P(A ∪ B) kann niemals größer als 1 sein.

✓ Wahr
Richtig. Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1. A ∪ B ist eine Teilmenge des Ergebnisraums.
Zahleneingabe #9 15s ▶ Testen

Zwei Ereignisse A und B sind unvereinbar. P(A) = 0,35, P(B) = 0,25. Berechne P(A ∪ B).

✓ Antwort: 0.6
Unvereinbar bedeutet A ∩ B = ∅, also P(A ∩ B) = 0. P(A ∪ B) = 0,35 + 0,25 = 0,6.
Lückentext #10 10s ▶ Testen

Eine Tabelle mit den vier Feldern A∩B, A∩B̄, Ā∩B, Ā∩B̄ heißt ___.

✓ Antwort: Vierfeldertafel
Die Vierfeldertafel ordnet die absoluten (oder relativen) Häufigkeiten übersichtlich in vier Felder an.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

In der gleichen Klasse (30 Schüler): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Schüler mindestens eine Sportart betreibt? (Angabe als Dezimalzahl, auf 2 Stellen gerundet)

✓ Antwort: 0.83
P(A ∪ B) = 25/30 = 5/6 ≈ 0,83.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Eine Vierfeldertafel zeigt folgende Häufigkeiten: A∩B = 10, A∩B̄ = 20, Ā∩B = 15, Ā∩B̄ = 5. Wie groß ist P(A)?

  • ○ 0,2
  • ○ 0,3
  • ○ 0,5
  • ● 0,6
Gesamt = 10 + 20 + 15 + 5 = 50. |A| = 10 + 20 = 30. P(A) = 30/50 = 0,6.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Wenn A und B disjunkte Ereignisse sind (A ∩ B = ∅), gilt: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

✓ Wahr
Richtig. Bei disjunkten Ereignissen ist P(A ∩ B) = 0, also vereinfacht sich die Formel zu P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Beim Würfeln: A = {gerade Zahl}, B = {Zahl > 4}. Berechne P(A ∪ B). (Als Bruch: Zähler bei Nenner 6)

✓ Antwort: 4
A = {2,4,6}, B = {5,6}. A ∩ B = {6}. P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, P(A ∪ B) = 0,7. Berechne P(A ∩ B).

✓ Antwort: 0.2
Aus P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) folgt: P(A ∩ B) = 0,5 + 0,4 − 0,7 = 0,2.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

In einer Umfrage unter 100 Personen lesen 60 Zeitung A, 45 Zeitung B, 20 lesen beide. Wie viele lesen keine der beiden?

  • ○ 5
  • ○ 10
  • ● 15
  • ○ 25
|A ∪ B| = 60 + 45 − 20 = 85. Keine = 100 − 85 = 15.