Die Änderungsrate der Wassermenge in einem Tank ist konstant r(t) = 4 l/min. Es gilt ∫₀⁵ r(t) dt = 20. Was bedeutet der Wert 20?

Erklärung: Das Integral einer Änderungsrate ist die Gesamtänderung: In 5 min kommen 4 l/min · 5 min = 20 l hinzu. Wie viel im Tank ist, hängt vom Anfangsbestand ab; und die Rate ist 4 l/min, nicht 20.

Die Änderungsrate r(t) wird in m³ pro Stunde gemessen, die Zeit t in Stunden. Welche Einheit hat ∫₀¹⁰ r(t) dt?

Erklärung: Einheit der Rate mal Einheit der Zeit: m³/h · h = m³. Das Integral ist eine Menge (Gesamtänderung), keine Rate mehr.

Die Rate ist r(t) = 2t + 1 (in l/min). Wie viel Wasser kommt von t = 0 bis t = 4 insgesamt hinzu (in l)?

Erklärung: ∫₀⁴ (2t + 1) dt = [t² + t] von 0 bis 4 = 16 + 4 = 20 l.

Die Rate ist r(t) = 0,5t² − 2 (in l/min). Um wie viel Liter ändert sich die Wassermenge von t = 0 bis t = 3? (Ein negativer Wert bedeutet Abnahme.)

Erklärung: ∫₀³ (0,5t² − 2) dt = [t³/6 − 2t] von 0 bis 3 = 4,5 − 6 = −1,5. Die Wassermenge nimmt um 1,5 l ab.

Ein Speicher enthält zu Beginn 50 m³. Die Zuflussrate ist r(t) = 10 − t (in m³/h). Wie viel Wasser enthält er nach 4 h?

Erklärung: Gesamtänderung: ∫₀⁴ (10 − t) dt = 40 − 8 = 32. Bestand: 50 + 32 = 82 m³. 32 m³ vergisst den Anfangsbestand; 18 m³ zieht die Änderung ab, obwohl die Rate positiv ist.

Zu Beginn sind 8 Gäste im Raum. Danach kommen mit der Rate r(t) = 2 (Gäste pro Minute) neue an, es gilt ∫₀⁵ r(t) dt = 10. Nach 5 Minuten sind 18 Gäste im Raum.

Erklärung: Richtig. 10 ist nur die Änderung. Bestand = Anfangsbestand + Änderung = 8 + 10 = 18 Gäste.

Es gilt B(0) = 45 und ∫₀³ r(t) dt = −12. Wie groß ist B(3)?

Erklärung: B(3) = B(0) + ∫₀³ r(t) dt = 45 + (−12) = 33. Die negative Gesamtänderung bedeutet Abnahme.

Ein Becken enthält 40 l. Die Änderungsrate ist r(t) = 8 − 2t (in l/min). Wie viel Liter enthält es nach 3 min?

Erklärung: ∫₀³ (8 − 2t) dt = [8t − t²] von 0 bis 3 = 24 − 9 = 15. Bestand 40 + 15 = 55 l.

Ein Speicher enthält anfangs 30 m³. Die Änderungsrate der Wassermenge ist r(t) = 12 − 3t² (in m³/h, t in h, 0 ≤ t ≤ 4). Bestimme die Funktion B(t) für die Wassermenge, den Zeitpunkt der größten Wassermenge mit Begründung und die Wassermenge nach 4 h. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

Foto aufnehmen Datei hochladen

Bewertung Cloud (Gemini) Lokal (Gemma 4) Lokal nicht verfügbar – Browser ohne WebGPU.

Cloud-Bewertung gesperrt — Passwort eingeben.

Erklärung: Anfangsbestand plus Gesamtänderung: B(t) = 30 + 12t − t³. Der Bestand ist dort am größten, wo die Rate von + nach − wechselt, bei t = 2.

Der Graph zeigt die Änderungsrate r(t) = 3 − t (in l/min) einer Wassermenge. Wie ändert sich die Wassermenge zwischen t = 0 und t = 5?

Erklärung: Oberhalb der t-Achse liegt ein Dreieck mit 3 · 3/2 = 4,5 l, unterhalb eines mit 2 · 2/2 = 2 l. Gesamtänderung 4,5 − 2 = 2,5 l: Zunahme. 6,5 l addiert die Beträge; „ab“ vertauscht die Vorzeichen.

Der Graph zeigt die Änderungsrate r(t) = 3 − t (in l/min) einer Wassermenge. Zu welchem Zeitpunkt zwischen t = 0 und t = 5 ist die Wassermenge am größten?

Erklärung: Die Wassermenge wächst, solange r(t) > 0 ist, also bis t = 3, und nimmt danach ab. Am größten ist sie bei t = 3, wo r von + nach − wechselt. Bei t = 0 ist die Rate am größten, nicht der Bestand.

Die Rate ist von t = 0 bis t = 6 gleich r(t) = t (in Liter pro Minute). Wie groß ist die Gesamtänderung in Litern? (Dreiecksfläche)

Erklärung: Die Fläche unter der Geraden ist ein Dreieck mit Grundseite 6 und Höhe 6: 6 · 6/2 = 18 l.

Der Graph von r ist eine Gerade durch (0 | 4) und (6 | −2). Wie groß ist die Gesamtänderung von t = 0 bis t = 6?

Erklärung: Nullstelle bei t = 4. Oben: Dreieck 4 · 4/2 = 8. Unten: Dreieck 2 · 2/2 = 2. Gesamtänderung 8 − 2 = 6.

Die Geschwindigkeit ist v(t) = t − 2 (in m/s) für t von 0 bis 4 s. Es gilt ∫₀⁴ v(t) dt = 0. Wie weit ist das Objekt insgesamt gefahren?

Erklärung: ∫ v ist die Verschiebung: 0 m, das Objekt ist wieder am Start. Der Weg addiert die Beträge: ∫₀² |v| = 2 m rückwärts, ∫₂⁴ |v| = 2 m vorwärts, zusammen 4 m. 2 m zählt nur eine Hälfte.

Ein Fahrzeug fährt erst 30 m vorwärts und dann 10 m rückwärts. Welche Werte haben ∫ v(t) dt und ∫ |v(t)| dt über die ganze Fahrt?

Erklärung: ∫ v ist die Bilanz: 30 − 10 = 20 m Verschiebung. ∫ |v| ist der Weg: 30 + 10 = 40 m. Die Reihenfolge „40 und 20“ vertauscht beides; „20 und 20“ vergisst, dass Rückwärtsfahren den Weg verlängert.

Ein Radfahrer fährt zuerst 50 m vorwärts (Teilintegral 50) und dann zurück (Teilintegral −70). Wie groß ist der zurückgelegte Weg in m?

Erklärung: Der Weg addiert die Beträge der Teilintegrale: 50 + 70 = 120 m. (Die Verschiebung wäre 50 − 70 = −20 m.)

Es sei v(t) = 4 − 2t (in m/s) für t von 0 bis 3 s. Wie groß ist der zurückgelegte Weg in m?

Erklärung: Nullstelle bei t = 2. ∫₀² (4 − 2t) dt = 4, ∫₂³ (4 − 2t) dt = −1. Weg = 4 + 1 = 5 m (Verschiebung: 3 m).

Aufgabe 1 von 17