Bestand und Änderungsrate

Stock and rate of change

Mathematik Klasse 13 17 Aufgaben

AnalysisIntegrationAkkumulation

Ist r die Änderungsrate einer Größe B, so ist das Integral ∫ₐᵇ r dt die Gesamtänderung B(b) − B(a); den Bestand erhält man mit dem Anfangsbestand: B(t) = B(0) + ∫₀ᵗ r ds. Bei einer Geschwindigkeit ist ∫ v die Verschiebung, der Weg addiert die Beträge der Teile. Der Abschnitt räumt vier Fehler aus: das Integral der Rate für den Bestand zu halten, den Anfangsbestand zu vergessen, den größten Bestand bei der größten Rate zu suchen und Verschiebung und Weg zu verwechseln. Er bereitet das Integral im Sachkontext der Anwendungen vor.

Änderung als Fläche

Ein Becken wird befüllt und wieder geleert; gemessen wird nur die Änderungsrate $r (t)$ in Litern pro Minute: positiv beim Befüllen, negativ beim Leeren. Die Wassermenge im Becken zur Zeit t heißt Bestand $B (t)$ ; r ist ihre Ableitung. Die Fläche zwischen dem Graphen von r und der t-Achse hat die Einheit l/min · min = l, ist also eine Wassermenge. Es ist die Gesamtänderung: $\int_{a}^{b} r (t) d t = B (b) - B (a)$ Bei $r (t) = 6 - 2 t$ sind das von 0 bis 3 Minuten +9 Liter, von 3 bis 6 Minuten −9 Liter, zusammen 0. Das Integral sagt, um wie viel sich der Bestand geändert hat, nicht, wie groß der Bestand ist.

Verschiebe t. Bei t = 3 ist die Gesamtänderung mit +9 l am größten; danach nimmt sie wieder ab.

Den Bestand rekonstruieren

Wie viel Wasser ist zur Zeit t im Becken? Dazu braucht man den Anfangsbestand: $B (t) = B (0) + \int_{0}^{t} r (s) d s$ Sind anfangs 20 Liter im Becken, gilt $B (t) = 20 + 6 t - t^{2}$ . Nach 3 Minuten sind es $B (3) = 29$ Liter, nach 6 Minuten wieder 20. Die Steigung von B ist die Rate r: Bei t = 3 ist sie 0. Der Bestand ist dort am größten, wo r von + nach − wechselt, nicht dort, wo r am größten ist.

Verschiebe t und vergleiche die Steigung mit dem Wert von r(t) = 6 − 2t.

Weg und Verschiebung

Bei einer Bewegung mit der Geschwindigkeit $v (t)$ ist $\int_{a}^{b} v (t) d t$ die Verschiebung $s (b) - s (a)$ : Rückwärtsfahren zählt negativ. Der zurückgelegte Weg ist $\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$ : Man zerlegt an den Nullstellen von v und addiert die Beträge der Teile, wie bei der Fläche zwischen Graphen.

Beispiel: $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ in m/s auf $[0; 4]$ hat die Nullstellen 1 und 3. Die Teilintegrale sind 4, −4 und 4. Die Verschiebung ist 4 m, der Weg 12 m.

Verschiebe b. Bei b = 3 ist die Verschiebung 0, der Weg aber 8.

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Änderungsrate der Wassermenge in einem Tank ist konstant r(t) = 4 l/min. Es gilt ∫₀⁵ r(t) dt = 20. Was bedeutet der Wert 20?

● In 5 min kommen 20 l hinzu.
○ Nach 5 min sind genau 20 l im Tank.
○ Es fließen 20 l pro Minute zu.

Das Integral einer Änderungsrate ist die Gesamtänderung: In 5 min kommen 4 l/min · 5 min = 20 l hinzu. Wie viel im Tank ist, hängt vom Anfangsbestand ab; und die Rate ist 4 l/min, nicht 20.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Die Änderungsrate r(t) wird in m³ pro Stunde gemessen, die Zeit t in Stunden. Welche Einheit hat ∫₀¹⁰ r(t) dt?

● m³
○ m³/h
○ h

Einheit der Rate mal Einheit der Zeit: m³/h · h = m³. Das Integral ist eine Menge (Gesamtänderung), keine Rate mehr.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Ein Speicher enthält zu Beginn 50 m³. Die Zuflussrate ist r(t) = 10 − t (in m³/h). Wie viel Wasser enthält er nach 4 h?

● 82 m³
○ 32 m³
○ 18 m³

Gesamtänderung: ∫₀⁴ (10 − t) dt = 40 − 8 = 32. Bestand: 50 + 32 = 82 m³. 32 m³ vergisst den Anfangsbestand; 18 m³ zieht die Änderung ab, obwohl die Rate positiv ist.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Zu Beginn sind 8 Gäste im Raum. Danach kommen mit der Rate r(t) = 2 (Gäste pro Minute) neue an, es gilt ∫₀⁵ r(t) dt = 10. Nach 5 Minuten sind 18 Gäste im Raum.

✓ Wahr

Richtig. 10 ist nur die Änderung. Bestand = Anfangsbestand + Änderung = 8 + 10 = 18 Gäste.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt die Änderungsrate r(t) = 3 − t (in l/min) einer Wassermenge. Wie ändert sich die Wassermenge zwischen t = 0 und t = 5?

● Sie nimmt um 2,5 l zu.
○ Sie nimmt um 6,5 l zu.
○ Sie nimmt um 2,5 l ab.

Oberhalb der t-Achse liegt ein Dreieck mit 3 · 3/2 = 4,5 l, unterhalb eines mit 2 · 2/2 = 2 l. Gesamtänderung 4,5 − 2 = 2,5 l: Zunahme. 6,5 l addiert die Beträge; „ab“ vertauscht die Vorzeichen.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt die Änderungsrate r(t) = 3 − t (in l/min) einer Wassermenge. Zu welchem Zeitpunkt zwischen t = 0 und t = 5 ist die Wassermenge am größten?

● t = 3
○ t = 0
○ t = 5

Die Wassermenge wächst, solange r(t) > 0 ist, also bis t = 3, und nimmt danach ab. Am größten ist sie bei t = 3, wo r von + nach − wechselt. Bei t = 0 ist die Rate am größten, nicht der Bestand.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Die Geschwindigkeit ist v(t) = t − 2 (in m/s) für t von 0 bis 4 s. Es gilt ∫₀⁴ v(t) dt = 0. Wie weit ist das Objekt insgesamt gefahren?

● 4 m
○ 0 m
○ 2 m

∫ v ist die Verschiebung: 0 m, das Objekt ist wieder am Start. Der Weg addiert die Beträge: ∫₀² |v| = 2 m rückwärts, ∫₂⁴ |v| = 2 m vorwärts, zusammen 4 m. 2 m zählt nur eine Hälfte.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Ein Fahrzeug fährt erst 30 m vorwärts und dann 10 m rückwärts. Welche Werte haben ∫ v(t) dt und ∫ |v(t)| dt über die ganze Fahrt?

● 20 m und 40 m
○ 40 m und 20 m
○ 20 m und 20 m

∫ v ist die Bilanz: 30 − 10 = 20 m Verschiebung. ∫ |v| ist der Weg: 30 + 10 = 40 m. Die Reihenfolge „40 und 20“ vertauscht beides; „20 und 20“ vergisst, dass Rückwärtsfahren den Weg verlängert.

Mittel

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Die Rate ist r(t) = 2t + 1 (in l/min). Wie viel Wasser kommt von t = 0 bis t = 4 insgesamt hinzu (in l)?

✓ Antwort: 20

∫₀⁴ (2t + 1) dt = [t² + t] von 0 bis 4 = 16 + 4 = 20 l.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Es gilt B(0) = 45 und ∫₀³ r(t) dt = −12. Wie groß ist B(3)?

✓ Antwort: 33

B(3) = B(0) + ∫₀³ r(t) dt = 45 + (−12) = 33. Die negative Gesamtänderung bedeutet Abnahme.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Die Rate ist von t = 0 bis t = 6 gleich r(t) = t (in Liter pro Minute). Wie groß ist die Gesamtänderung in Litern? (Dreiecksfläche)

✓ Antwort: 18

Die Fläche unter der Geraden ist ein Dreieck mit Grundseite 6 und Höhe 6: 6 · 6/2 = 18 l.

Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Ein Radfahrer fährt zuerst 50 m vorwärts (Teilintegral 50) und dann zurück (Teilintegral −70). Wie groß ist der zurückgelegte Weg in m?

✓ Antwort: 120

Der Weg addiert die Beträge der Teilintegrale: 50 + 70 = 120 m. (Die Verschiebung wäre 50 − 70 = −20 m.)

Schwer

Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Die Rate ist r(t) = 0,5t² − 2 (in l/min). Um wie viel Liter ändert sich die Wassermenge von t = 0 bis t = 3? (Ein negativer Wert bedeutet Abnahme.)

✓ Antwort: -1.5

∫₀³ (0,5t² − 2) dt = [t³/6 − 2t] von 0 bis 3 = 4,5 − 6 = −1,5. Die Wassermenge nimmt um 1,5 l ab.

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Ein Becken enthält 40 l. Die Änderungsrate ist r(t) = 8 − 2t (in l/min). Wie viel Liter enthält es nach 3 min?

✓ Antwort: 55

∫₀³ (8 − 2t) dt = [8t − t²] von 0 bis 3 = 24 − 9 = 15. Bestand 40 + 15 = 55 l.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein Speicher enthält anfangs 30 m³. Die Änderungsrate der Wassermenge ist r(t) = 12 − 3t² (in m³/h, t in h, 0 ≤ t ≤ 4). Bestimme die Funktion B(t) für die Wassermenge, den Zeitpunkt der größten Wassermenge mit Begründung und die Wassermenge nach 4 h. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: B(t) = 30 + ∫₀ᵗ (12 − 3s²) ds = 30 + 12t − t³. Die Rate r(t) = 12 − 3t² = 0 bei t = 2 (t > 0) und wechselt dort von + nach −: Die Wassermenge ist bei t = 2 am größten, B(2) = 30 + 24 − 8 = 46 m³. Nach 4 h: B(4) = 30 + 48 − 64 = 14 m³.

Anfangsbestand plus Gesamtänderung: B(t) = 30 + 12t − t³. Der Bestand ist dort am größten, wo die Rate von + nach − wechselt, bei t = 2.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Der Graph von r ist eine Gerade durch (0 | 4) und (6 | −2). Wie groß ist die Gesamtänderung von t = 0 bis t = 6?

✓ Antwort: 6

Nullstelle bei t = 4. Oben: Dreieck 4 · 4/2 = 8. Unten: Dreieck 2 · 2/2 = 2. Gesamtänderung 8 − 2 = 6.

Zahleneingabe #5 50s ▶ Testen

Es sei v(t) = 4 − 2t (in m/s) für t von 0 bis 3 s. Wie groß ist der zurückgelegte Weg in m?

✓ Antwort: 5

Nullstelle bei t = 2. ∫₀² (4 − 2t) dt = 4, ∫₂³ (4 − 2t) dt = −1. Weg = 4 + 1 = 5 m (Verschiebung: 3 m).