Fläche zwischen Graphen
Auf [0 ; 2] liegt der Graph von f(x) = x + 1 oberhalb des Graphen von g(x) = ½x. Welches Integral gibt den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen an?
Erklärung: Obere minus untere Funktion: ∫₀² (f − g) dx = ∫₀² (½x + 1) dx = 3. Die umgekehrte Reihenfolge ergäbe −3, also einen negativen Flächeninhalt. Addiert man beide Integrale, zählt man die Fläche unter g doppelt statt sie abzuziehen.
Zwischen x = −3 und x = 3 liegt der Graph von f(x) = 9 oberhalb der Parabel g(x) = x². Welches Integral gibt den Flächeninhalt zwischen den Graphen an?
Erklärung: Obere minus untere Funktion: 9 − x². Das Integral ∫₋₃³ (9 − x²) dx = 36 ist der Flächeninhalt. Mit x² − 9 wäre das Ergebnis negativ. Die dritte Rechnung addiert die beiden Flächen unter den Graphen (54 + 18 = 72), statt die untere von der oberen abzuziehen.
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = 4 (oben) und g(x) = x² (unten) über [−2 ; 2] (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³/3] von −2 bis 2 = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10,67.
Der Graph von f(x) = x² + 1 liegt über dem von g(x) = x. Berechne den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen über [0 ; 3].
Erklärung: f − g = x² − x + 1 (immer positiv). ∫₀³ (x² − x + 1) dx = [x³/3 − x²/2 + x] von 0 bis 3 = 9 − 4,5 + 3 = 7,5.
Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 2x + 3 schließen eine Fläche ein. Aus welcher Gleichung bestimmt man die Integrationsgrenzen?
Erklärung: Die Grenzen sind die Schnittstellen der Graphen: f(x) = g(x), also x² = 2x + 3 mit x = −1 und x = 3. Die Nullstellen von f und g begrenzen Flächen an der x-Achse, nicht zwischen den Graphen. 2x = 2 vergleicht die Ableitungen (gleiche Steigung), nicht die Werte.
Zwischen den Graphen von f(x) = x² und g(x) = 2 − x² liegt eine Fläche. Bei welchen x-Werten wird sie seitlich begrenzt?
Erklärung: Schnittstellen: x² = 2 − x² ergibt x² = 1, also x = ±1. Die Werte ±√2 sind die Nullstellen von g, und g(0) = 2 ist ein Funktionswert, keine Stelle.
Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 3x − 2 schneiden sich bei x = 1 und bei x = c mit c > 1. Bestimme c.
Erklärung: x² = 3x − 2 ergibt x² − 3x + 2 = 0, also (x − 1)(x − 2) = 0 mit x = 1 und x = 2.
Es sei f(x) = x² und g(x) = x + 6. Wie groß ist die obere Grenze minus die untere Grenze der Fläche zwischen den Graphen?
Erklärung: x² = x + 6 ergibt x² − x − 6 = 0, also x = −2 und x = 3. Obere minus untere Grenze: 3 − (−2) = 5.
Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 2x schneiden sich bei x = 0 und x = 2. Welcher Graph liegt zwischen 0 und 2 oben?
Erklärung: Testwert x = 1: f(1) = 1, g(1) = 2. Weil g(1) größer ist, liegt g auf ]0 ; 2[ oben. Zwischen zwei Schnittstellen bleibt die Reihenfolge gleich, ein Testwert genügt.
Die Graphen von f(x) = x³ und g(x) = 4x schneiden sich bei −2, 0 und 2. Auf ]−2 ; 0[ liegt g oben, weil 4x größer ist als x³.
Erklärung: Testwert x = −1: f(−1) = −1, g(−1) = −4. Der größere Wert gehört zu f, also liegt f auf ]−2 ; 0[ oben. Auf ]−2 ; 0[ ist 4x kleiner als x³: Von zwei negativen Zahlen ist die mit dem größeren Betrag kleiner.
Es sei f(x) = x² und g(x) = 2x + 3. Wie groß ist f(0) − g(0)? (Das Vorzeichen zeigt, welcher Graph an dieser Stelle oben liegt.)
Erklärung: f(0) = 0 und g(0) = 3, also f(0) − g(0) = −3 < 0: g liegt an dieser Stelle oben.
Es sei f(x) = x² und g(x) = 6 − x mit den Schnittstellen −3 und 2. Wie groß ist an der Testwertstelle x = 0 der Funktionswert des oberen Graphen?
Erklärung: f(0) = 0 und g(0) = 6. Der obere Graph zwischen −3 und 2 ist g; sein Wert bei 0 ist 6.
Die Graphen von f(x) = x³ und g(x) = 4x schneiden sich bei −2, 0 und 2. Es gilt ∫₋₂² (x³ − 4x) dx = 0. Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die die Graphen zwischen −2 und 2 einschließen?
Erklärung: Das Integral 0 ist nur die Bilanz. An der Schnittstelle 0 zerlegen: ∫₀² (4x − x³) dx = 8 − 4 = 4 FE für das rechte Stück, ebenso 4 FE links. Flächeninhalt 4 + 4 = 8 FE. 4 FE zählt nur ein Stück.
Der Graph von f liegt auf [0 ; 1] oberhalb des Graphen von g und auf [1 ; 3] unterhalb; bei x = 1 schneiden sie sich. Welche Rechnung liefert den Flächeninhalt zwischen den Graphen über [0 ; 3]?
Erklärung: Man zerlegt bei x = 1 und nimmt in jedem Teil obere minus untere Funktion. ∫₀³ (f − g) dx ist nur die Bilanz; auch der Betrag |∫₀³ (f − g) dx| ist die Differenz der Stücke, nicht ihre Summe.
Die Graphen von f und g schneiden sich bei x = c. Die Teilintegrale von f − g haben über [a ; c] den Wert 2,5 und über [c ; b] den Wert −6,5. Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen den Graphen über [a ; b]?
Erklärung: Der Flächeninhalt addiert die Beträge der Teilintegrale: 2,5 + 6,5 = 9. Die Bilanz wäre 2,5 − 6,5 = −4.
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x² − 4 mit der x-Achse über [0 ; 3] einschließt (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: Nullstelle bei x = 2. F(x) = x³/3 − 4x. Über [0 ; 2]: F(2) − F(0) = −16/3, Stück 16/3. Über [2 ; 3]: F(3) − F(2) = −3 + 16/3 = 7/3. Flächeninhalt 16/3 + 7/3 = 23/3 ≈ 7,67. Ohne Zerlegen käme nur die Bilanz −3 heraus.
Die Graphen von f(x) = x² − 2x und g(x) = 4 − x² schließen eine Fläche ein. Bestimme die Schnittstellen, entscheide mit einem Testwert, welcher Graph oben liegt, und berechne den Flächeninhalt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Schnittstellen −1 und 2, oben liegt g (Testwert 0: 4 > 0). Die Stammfunktion −2x³/3 + x² + 4x ergibt 20/3 − (−7/3) = 9.