Fläche zwischen Graphen
Area between graphs
Zwei Graphen schließen eine Fläche ein: Ihr Inhalt ist das Integral von oberer minus unterer Funktion, die Grenzen sind die Schnittstellen. Ein Testwert entscheidet, welcher Graph oben liegt. Kreuzen sich die Graphen im Intervall, wird an der Schnittstelle zerlegt und werden die Beträge addiert. Der Abschnitt räumt die Fehler aus, unten minus oben zu rechnen, Nullstellen statt Schnittstellen als Grenzen zu nehmen und die Bilanz für den Flächeninhalt zu halten. Er bereitet den zurückgelegten Weg (Zerlegen an Vorzeichenwechseln) und Flächen im Sachkontext vor.
Obere minus untere Funktion
Zwei Graphen schließen eine
Die Grenzen sind die
Wenn sich die Graphen kreuzen
Die Graphen von
Man zerlegt an der Schnittstelle und nimmt in jedem Teil obere minus untere Funktion:
Auf [0 ; 2] liegt der Graph von f(x) = x + 1 oberhalb des Graphen von g(x) = ½x. Welches Integral gibt den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen an?
Zwischen x = −3 und x = 3 liegt der Graph von f(x) = 9 oberhalb der Parabel g(x) = x². Welches Integral gibt den Flächeninhalt zwischen den Graphen an?
Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 2x + 3 schließen eine Fläche ein. Aus welcher Gleichung bestimmt man die Integrationsgrenzen?
Zwischen den Graphen von f(x) = x² und g(x) = 2 − x² liegt eine Fläche. Bei welchen x-Werten wird sie seitlich begrenzt?
Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 2x schneiden sich bei x = 0 und x = 2. Welcher Graph liegt zwischen 0 und 2 oben?
Die Graphen von f(x) = x³ und g(x) = 4x schneiden sich bei −2, 0 und 2. Auf ]−2 ; 0[ liegt g oben, weil 4x größer ist als x³.
Die Graphen von f(x) = x³ und g(x) = 4x schneiden sich bei −2, 0 und 2. Es gilt ∫₋₂² (x³ − 4x) dx = 0. Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die die Graphen zwischen −2 und 2 einschließen?
Der Graph von f liegt auf [0 ; 1] oberhalb des Graphen von g und auf [1 ; 3] unterhalb; bei x = 1 schneiden sie sich. Welche Rechnung liefert den Flächeninhalt zwischen den Graphen über [0 ; 3]?
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = 4 (oben) und g(x) = x² (unten) über [−2 ; 2] (auf 2 Dezimalen).
Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 3x − 2 schneiden sich bei x = 1 und bei x = c mit c > 1. Bestimme c.
Es sei f(x) = x² und g(x) = 2x + 3. Wie groß ist f(0) − g(0)? (Das Vorzeichen zeigt, welcher Graph an dieser Stelle oben liegt.)
Die Graphen von f und g schneiden sich bei x = c. Die Teilintegrale von f − g haben über [a ; c] den Wert 2,5 und über [c ; b] den Wert −6,5. Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen den Graphen über [a ; b]?
Der Graph von f(x) = x² + 1 liegt über dem von g(x) = x. Berechne den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen über [0 ; 3].
Es sei f(x) = x² und g(x) = x + 6. Wie groß ist die obere Grenze minus die untere Grenze der Fläche zwischen den Graphen?
Es sei f(x) = x² und g(x) = 6 − x mit den Schnittstellen −3 und 2. Wie groß ist an der Testwertstelle x = 0 der Funktionswert des oberen Graphen?
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x² − 4 mit der x-Achse über [0 ; 3] einschließt (auf 2 Dezimalen).
Die Graphen von f(x) = x² − 2x und g(x) = 4 − x² schließen eine Fläche ein. Bestimme die Schnittstellen, entscheide mit einem Testwert, welcher Graph oben liegt, und berechne den Flächeninhalt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.