Graph der Integralfunktion
Der Graph von f(x) = 4 − x² fällt auf [0 ; 2] von 4 auf 0. Wie verläuft eine Integralfunktion Iₐ von f auf diesem Intervall?
Erklärung: Iₐ′ = f, und f(x) = 4 − x² ist auf [0 ; 2] positiv. Also steigt Iₐ dort, obwohl f fällt. Wer „fällt“ wählt, liest das Gefälle von f statt seines Vorzeichens.
Es sei f(x) = x − 3. Auf [0 ; 2] steigt f, und trotzdem fällt eine Integralfunktion Iₐ von f auf [0 ; 2].
Erklärung: Richtig. Auf [0 ; 2] ist f(x) = x − 3 negativ (von −3 bis −1). Iₐ′ = f < 0: Iₐ fällt, obwohl f steigt. Entscheidend ist das Vorzeichen von f, nicht sein Verlauf.
Es sei f(x) = 6 − 2x. Eine Integralfunktion Iₐ von f steigt, bis sie an der Stelle x = c ihr Maximum erreicht. Bestimme c.
Erklärung: Iₐ steigt, solange f(x) = 6 − 2x > 0 ist, also für x < 3. Bei x = 3 wechselt f von + nach −: c = 3.
Für eine Integralfunktion Iₐ gilt Iₐ(1) = 3, und auf [1 ; 4] ist f(x) = −2. Wie groß ist Iₐ(4)?
Erklärung: Iₐ(4) = Iₐ(1) + ∫₁⁴ f(x) dx = 3 + (−2) · 3 = −3. Weil f negativ ist, fällt Iₐ von 3 auf −3.
Der Graph von f schneidet die x-Achse bei x = −1 und bei x = 2. Was hat eine Integralfunktion Iₐ von f an der Stelle x = 2?
Erklärung: Bei x = 2 wechselt f von − nach +. Iₐ fällt also bis 2 und steigt danach: Tiefpunkt. Ein Hochpunkt wäre ein Wechsel von + nach −; ein Wendepunkt gehört zum Extremum von f, nicht zu seiner Nullstelle.
Es sei f(x) = x²(x − 3) mit den Nullstellen 0 und 3. An welchen Stellen hat eine Integralfunktion Iₐ von f einen Extrempunkt?
Erklärung: Bei x = 3 wechselt f das Vorzeichen (− nach +): Tiefpunkt von Iₐ. Bei x = 0 berührt f die Achse nur, f bleibt links und rechts negativ: Iₐ fällt beidseits, es gibt keinen Extrempunkt.
Für f(x) = x² hat eine Integralfunktion Iₐ an der Stelle x = 0 einen Tiefpunkt.
Erklärung: Es ist f(0) = 0, aber f(x) = x² ist nie negativ und wechselt das Vorzeichen nicht. Iₐ steigt links und rechts von 0; sie hat dort eine waagerechte Tangente, aber keinen Extrempunkt.
Es sei f(x) = 4 − x². An welcher Stelle x > 0 hat die Integralfunktion I₀ einen Hochpunkt?
Erklärung: f(x) = 4 − x² hat bei x = 2 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach −: Hochpunkt von I₀ bei x = 2.
Es sei f(x) = 4 − x² und I₀(x) = ∫₀ˣ f(t) dt = 4x − x³/3. Wie groß ist der Funktionswert des Hochpunkts von I₀ (auf 2 Dezimalen)?
Erklärung: Der Hochpunkt liegt bei x = 2: I₀(2) = 4 · 2 − 8/3 = 16/3 ≈ 5,33.
Der Graph von f(x) = x² − 6x + 5 hat bei x = 3 sein Minimum. Was hat eine Integralfunktion Iₐ von f an der Stelle x = 3?
Erklärung: Iₐ″ = f′ wechselt bei x = 3 das Vorzeichen (f fällt, dann steigt): Die Krümmung von Iₐ ändert sich, es gibt einen Wendepunkt. f(3) = −4 ≠ 0, die Tangente an Iₐ ist dort nicht waagerecht, also kein Extrempunkt.
Der Graph von f(x) = −x² + 2x + 3 hat bei x = 1 sein Maximum (f(1) = 4). Was hat eine Integralfunktion Iₐ von f an der Stelle x = 1?
Erklärung: Iₐ″ = f′ wechselt bei x = 1 das Vorzeichen (f steigt, dann fällt): Iₐ hat einen Wendepunkt, und Iₐ′(1) = f(1) = 4 ist dort die größte Steigung. Ein Hochpunkt hätte die Steigung 0; hier ist sie 4.
Es sei f(x) = x² − 8x + 3. An welcher Stelle x hat eine Integralfunktion Iₐ von f einen Wendepunkt?
Erklärung: Der Wendepunkt von Iₐ liegt an der Extremstelle von f. f′(x) = 2x − 8 = 0 ergibt x = 4.
Es sei f(x) = x² − 8x + 3. Wie groß ist die Steigung der Tangente an Iₐ im Wendepunkt?
Erklärung: Der Wendepunkt liegt bei x = 4. Die Steigung ist Iₐ′(4) = f(4) = 16 − 32 + 3 = −13.
Der Graph einer Integralfunktion Iₐ ist eine Parabel mit dem Scheitel (2 | 4). Was gilt für die Funktion f mit Iₐ′ = f an der Stelle 2?
Erklärung: Im Scheitel ist die Tangente an Iₐ waagerecht: Iₐ′(2) = f(2) = 0. Der Wert 4 ist der Funktionswert Iₐ(2), nicht f(2).
Die eingezeichnete Tangente an den Graphen von Iₐ bei x = 3 hat die Steigung 5. Welche Aussage folgt?
Erklärung: Die Steigung der Tangente an Iₐ bei x = 3 ist Iₐ′(3) = f(3) = 5. Iₐ(3) wäre die Höhe des Punktes (hier 6) und f′(3) die Steigung von f, nicht von Iₐ.
Die Tangente an den Graphen von Iₐ bei x = 4 hat die Steigung −3. Wie groß ist f(4)?
Erklärung: Iₐ′(4) = f(4): Die Steigung der Tangente an Iₐ ist der Funktionswert von f. Also f(4) = −3.
Es sei Iₐ(x) = x³/3 − 3x. Wie groß ist f(2), wenn Iₐ eine Integralfunktion von f ist?
Erklärung: f = Iₐ′, also f(x) = x² − 3 und f(2) = 4 − 3 = 1.
Gegeben ist f(t) = t² − t − 2 = (t + 1)(t − 2) und die Integralfunktion I₀(x) = ∫₀ˣ f(t) dt. Ohne I₀ auszurechnen: Gib an, wo I₀ steigt und fällt, bestimme Art und Stelle der Extrempunkte und die Stelle des Wendepunkts (jeweils mit Begründung aus f) und skizziere den Graphen von I₀ durch den Punkt (0 | 0).
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Extrempunkte von I₀ liegen an den Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel, der Wendepunkt an der Extremstelle von f. Wegen f(0) = −2 fällt I₀ im Ursprung mit der Steigung −2.