Graph der Integralfunktion

Graph of the integral function

Mathematik Klasse 13 18 Aufgaben
AnalysisIntegrationIntegralfunktion

Aus dem Graphen von f lässt sich der Verlauf einer Integralfunktion Iₐ ablesen, weil Iₐ′ = f gilt: Wo f positiv ist, steigt Iₐ; an einer Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel liegt ein Extrempunkt, an einer Extremstelle von f ein Wendepunkt. Umgekehrt ist f(x) die Steigung der Tangente an Iₐ. Der Abschnitt räumt den Fehler aus, Iₐ steige, wo f steigt (Rate und Bestand vertauscht), und den, jede Nullstelle von f liefere einen Extrempunkt. Er bereitet den Bestand aus einer Änderungsrate und die Kurvenuntersuchung in den Anwendungen der Analysis vor.

Von f zu I: Steigen und Fallen

Der Hauptsatz sagt: Die Integralfunktion hat die Ableitung . Damit lässt sich ihr Graph aus dem Graphen der Integrandenfunktion f lesen, ohne zu rechnen. Wir nehmen . Die untere Grenze a legt nur den Startpunkt fest; allgemein schreibt man , hier ist und wir kürzen ab. Es gilt : Der Graph von I beginnt auf der x-Achse.

Wo f positiv ist, steigt I; wo f negativ ist, fällt I. Bei wechselt f das Vorzeichen von + nach −: I hat einen Hochpunkt, . Bei wechselt f von − nach +: I hat einen Tiefpunkt, . Dazwischen ist f negativ, also fällt I, auch wenn f ab wieder steigt. Nicht das Steigen von f zählt, sondern sein Vorzeichen.

Verschiebe x. Der Chip zeigt f(x) und die Steigung der Tangente an I. Was fällt auf?

Krümmung und der Weg zurück

Wo f am kleinsten ist, bei mit , fällt I am steilsten: Die Steigung ist ihr kleinster Wert. Dort wechselt I von einer Rechts- in eine Linkskurve, es ist ein Wendepunkt. Eine Extremstelle von f ist also eine Wendestelle von I.

Umgekehrt: Ist nur der Graph von I gegeben, ist f(x) die Steigung der Tangente an I bei x. Beim Hochpunkt und beim Tiefpunkt ist die Tangente waagerecht, also sind und Nullstellen von f. Im Wendepunkt hat die Tangente die Steigung .

Eine Skizze von I entsteht so in drei Schritten: Startpunkt festlegen, Steigen und Fallen aus dem Vorzeichen von f übernehmen, Wendepunkte bei den Extremstellen von f einzeichnen.

Lies von unten nach oben: Die gestrichelten Linien verbinden die Nullstellen und das Minimum von f mit Hochpunkt H, Wendepunkt W und Tiefpunkt T von I.
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 4 − x² fällt auf [0 ; 2] von 4 auf 0. Wie verläuft eine Integralfunktion Iₐ von f auf diesem Intervall?

  • ● Sie steigt.
  • ○ Sie fällt.
  • ○ Sie ist konstant.
Iₐ′ = f, und f(x) = 4 − x² ist auf [0 ; 2] positiv. Also steigt Iₐ dort, obwohl f fällt. Wer „fällt“ wählt, liest das Gefälle von f statt seines Vorzeichens.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Es sei f(x) = x − 3. Auf [0 ; 2] steigt f, und trotzdem fällt eine Integralfunktion Iₐ von f auf [0 ; 2].

✓ Wahr
Richtig. Auf [0 ; 2] ist f(x) = x − 3 negativ (von −3 bis −1). Iₐ′ = f < 0: Iₐ fällt, obwohl f steigt. Entscheidend ist das Vorzeichen von f, nicht sein Verlauf.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Der Graph von f schneidet die x-Achse bei x = −1 und bei x = 2. Was hat eine Integralfunktion Iₐ von f an der Stelle x = 2?

  • ● Einen Tiefpunkt
  • ○ Einen Hochpunkt
  • ○ Einen Wendepunkt
Bei x = 2 wechselt f von − nach +. Iₐ fällt also bis 2 und steigt danach: Tiefpunkt. Ein Hochpunkt wäre ein Wechsel von + nach −; ein Wendepunkt gehört zum Extremum von f, nicht zu seiner Nullstelle.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Es sei f(x) = x²(x − 3) mit den Nullstellen 0 und 3. An welchen Stellen hat eine Integralfunktion Iₐ von f einen Extrempunkt?

  • ● Nur bei x = 3
  • ○ Nur bei x = 0
  • ○ Bei x = 0 und bei x = 3
Bei x = 3 wechselt f das Vorzeichen (− nach +): Tiefpunkt von Iₐ. Bei x = 0 berührt f die Achse nur, f bleibt links und rechts negativ: Iₐ fällt beidseits, es gibt keinen Extrempunkt.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für f(x) = x² hat eine Integralfunktion Iₐ an der Stelle x = 0 einen Tiefpunkt.

✓ Falsch
Es ist f(0) = 0, aber f(x) = x² ist nie negativ und wechselt das Vorzeichen nicht. Iₐ steigt links und rechts von 0; sie hat dort eine waagerechte Tangente, aber keinen Extrempunkt.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x² − 6x + 5 hat bei x = 3 sein Minimum. Was hat eine Integralfunktion Iₐ von f an der Stelle x = 3?

  • ● Einen Wendepunkt
  • ○ Einen Tiefpunkt
  • ○ Einen Hochpunkt
Iₐ″ = f′ wechselt bei x = 3 das Vorzeichen (f fällt, dann steigt): Die Krümmung von Iₐ ändert sich, es gibt einen Wendepunkt. f(3) = −4 ≠ 0, die Tangente an Iₐ ist dort nicht waagerecht, also kein Extrempunkt.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = −x² + 2x + 3 hat bei x = 1 sein Maximum (f(1) = 4). Was hat eine Integralfunktion Iₐ von f an der Stelle x = 1?

  • ● Einen Wendepunkt
  • ○ Einen Hochpunkt
  • ○ Einen Tiefpunkt
Iₐ″ = f′ wechselt bei x = 1 das Vorzeichen (f steigt, dann fällt): Iₐ hat einen Wendepunkt, und Iₐ′(1) = f(1) = 4 ist dort die größte Steigung. Ein Hochpunkt hätte die Steigung 0; hier ist sie 4.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der Graph einer Integralfunktion Iₐ ist eine Parabel mit dem Scheitel (2 | 4). Was gilt für die Funktion f mit Iₐ′ = f an der Stelle 2?

  • ● f(2) = 0
  • ○ f(2) = 4
  • ○ f hat bei x = 2 ihr Maximum
Im Scheitel ist die Tangente an Iₐ waagerecht: Iₐ′(2) = f(2) = 0. Der Wert 4 ist der Funktionswert Iₐ(2), nicht f(2).
Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Die eingezeichnete Tangente an den Graphen von Iₐ bei x = 3 hat die Steigung 5. Welche Aussage folgt?

  • ● f(3) = 5
  • ○ Iₐ(3) = 5
  • ○ f′(3) = 5
Die Steigung der Tangente an Iₐ bei x = 3 ist Iₐ′(3) = f(3) = 5. Iₐ(3) wäre die Höhe des Punktes (hier 6) und f′(3) die Steigung von f, nicht von Iₐ.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Es sei f(x) = 6 − 2x. Eine Integralfunktion Iₐ von f steigt, bis sie an der Stelle x = c ihr Maximum erreicht. Bestimme c.

✓ Antwort: 3
Iₐ steigt, solange f(x) = 6 − 2x > 0 ist, also für x < 3. Bei x = 3 wechselt f von + nach −: c = 3.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Es sei f(x) = 4 − x². An welcher Stelle x > 0 hat die Integralfunktion I₀ einen Hochpunkt?

✓ Antwort: 2
f(x) = 4 − x² hat bei x = 2 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach −: Hochpunkt von I₀ bei x = 2.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Es sei f(x) = x² − 8x + 3. An welcher Stelle x hat eine Integralfunktion Iₐ von f einen Wendepunkt?

✓ Antwort: 4
Der Wendepunkt von Iₐ liegt an der Extremstelle von f. f′(x) = 2x − 8 = 0 ergibt x = 4.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Die Tangente an den Graphen von Iₐ bei x = 4 hat die Steigung −3. Wie groß ist f(4)?

✓ Antwort: -3
Iₐ′(4) = f(4): Die Steigung der Tangente an Iₐ ist der Funktionswert von f. Also f(4) = −3.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für eine Integralfunktion Iₐ gilt Iₐ(1) = 3, und auf [1 ; 4] ist f(x) = −2. Wie groß ist Iₐ(4)?

✓ Antwort: -3
Iₐ(4) = Iₐ(1) + ∫₁⁴ f(x) dx = 3 + (−2) · 3 = −3. Weil f negativ ist, fällt Iₐ von 3 auf −3.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Es sei f(x) = 4 − x² und I₀(x) = ∫₀ˣ f(t) dt = 4x − x³/3. Wie groß ist der Funktionswert des Hochpunkts von I₀ (auf 2 Dezimalen)?

✓ Antwort: 5.33
Der Hochpunkt liegt bei x = 2: I₀(2) = 4 · 2 − 8/3 = 16/3 ≈ 5,33.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es sei f(x) = x² − 8x + 3. Wie groß ist die Steigung der Tangente an Iₐ im Wendepunkt?

✓ Antwort: -13
Der Wendepunkt liegt bei x = 4. Die Steigung ist Iₐ′(4) = f(4) = 16 − 32 + 3 = −13.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Es sei Iₐ(x) = x³/3 − 3x. Wie groß ist f(2), wenn Iₐ eine Integralfunktion von f ist?

✓ Antwort: 1
f = Iₐ′, also f(x) = x² − 3 und f(2) = 4 − 3 = 1.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Gegeben ist f(t) = t² − t − 2 = (t + 1)(t − 2) und die Integralfunktion I₀(x) = ∫₀ˣ f(t) dt. Ohne I₀ auszurechnen: Gib an, wo I₀ steigt und fällt, bestimme Art und Stelle der Extrempunkte und die Stelle des Wendepunkts (jeweils mit Begründung aus f) und skizziere den Graphen von I₀ durch den Punkt (0 | 0). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Nullstellen von f: t = −1 und t = 2; f > 0 für t < −1 und für t > 2, f < 0 dazwischen. I₀ steigt für x < −1, fällt auf ]−1 ; 2[ und steigt für x > 2. Hochpunkt bei x = −1 (Vorzeichenwechsel von f: + → −), Tiefpunkt bei x = 2 (− → +). f′(t) = 2t − 1 = 0 bei t = 0,5: f hat dort sein Minimum (f(0,5) = −2,25), also hat I₀ bei x = 0,5 einen Wendepunkt mit der Steigung −2,25. Skizze durch (0 | 0) mit dem Hochpunkt bei x = −1, dem Tiefpunkt bei x = 2 und dem Wendepunkt bei x = 0,5; zur Kontrolle I₀(−1) = 7/6 ≈ 1,17 und I₀(2) = −10/3 ≈ −3,33.
Extrempunkte von I₀ liegen an den Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel, der Wendepunkt an der Extremstelle von f. Wegen f(0) = −2 fällt I₀ im Ursprung mit der Steigung −2.