Integrationsregeln
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = e^(2x)?
Erklärung: (½ · e^(2x))′ = ½ · 2 · e^(2x) = e^(2x). Ohne den Faktor ½ leitet e^(2x) auf 2 · e^(2x) ab; mit dem Faktor 2 sogar auf 4 · e^(2x).
F(x) = (3x + 1)³ ist eine Stammfunktion von f(x) = (3x + 1)².
Erklärung: F′(x) = 3 · (3x + 1)² · 3 = 9 · (3x + 1)², nicht (3x + 1)². Eine Stammfunktion ist (3x + 1)³ / 9: erst durch die innere Ableitung 3 und durch den Exponenten 3 teilen.
Ergänze die Zahl: ∫ e^(3x) dx = e^(3x) / ___ + C
Erklärung: (e^(3x))′ = 3 · e^(3x). Damit die Ableitung e^(3x) ergibt, teilt man durch die innere Ableitung 3.
Berechne ∫₀² (3x + 1)² dx.
Erklärung: Stammfunktion F(x) = (3x + 1)³ / 9. F(2) − F(0) = 343/9 − 1/9 = 342/9 = 38.
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x / (x² + 1)?
Erklärung: Der Zähler 2x ist die Ableitung des Nenners x² + 1. Also F(x) = ln(x² + 1) mit F′(x) = 2x/(x² + 1). x² / (x³/3 + x) entsteht, wenn man Zähler und Nenner einzeln integriert; das ist keine Regel. 2 · ln(x² + 1) leitet auf 4x/(x² + 1) ab.
Bei welchem Integranden liefert die ln-Regel (bis auf einen konstanten Faktor) eine Stammfunktion?
Erklärung: 3x² ist die Ableitung des Nenners x³ + 5: ln|x³ + 5| ist eine Stammfunktion. Bei 1/(x² + 1) ist der Zähler kein Vielfaches von 2x. Bei x/(x² + 1)² steht der Nenner quadriert; dort ist −1/(2(x² + 1)) eine Stammfunktion, kein Logarithmus.
Berechne ∫ von −2 bis −1 über 1/x dx (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: Auf ]−∞ ; 0[ ist F(x) = ln|x| eine Stammfunktion von 1/x. F(−1) − F(−2) = ln 1 − ln 2 = −0,69. Negativ, weil die Fläche unterhalb der x-Achse liegt.
Berechne ∫₀² x / (x² + 1) dx (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: x ist nur die Hälfte der Ableitung 2x des Nenners: F(x) = ½ · ln(x² + 1). F(2) − F(0) = ½ · ln 5 − ½ · ln 1 = ½ · ln 5 ≈ 0,80.
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x · e^(x²)?
Erklärung: Im Exponenten steht x², seine Ableitung 2x steht als Faktor davor: F(x) = e^(x²) mit F′(x) = 2x · e^(x²). x² · e^(x²) integriert die Faktoren einzeln; die Ableitung ist 2x · e^(x²) + 2x³ · e^(x²). e^(x²)/(2x) teilt durch die innere Ableitung wie bei ax + b; das geht nur, wenn die Verkettung linear ist.
Bei welchem Integranden liefert die e-Regel (bis auf einen konstanten Faktor) eine Stammfunktion?
Erklärung: Im Exponenten steht x³, seine Ableitung 3x² steht als Faktor davor: F(x) = e^(x³). Bei x² · e^(2x) passt der Faktor x² nicht zur inneren Ableitung 2; bei e^(x²) fehlt der Faktor 2x ganz (dafür gibt es keine Stammfunktion als Term).
F(x) = ⅓ · e^(x³) ist eine Stammfunktion von f(x) = x² · e^(x³).
Erklärung: Richtig. F′(x) = ⅓ · 3x² · e^(x³) = x² · e^(x³). Im Exponenten steht x³ mit der Ableitung 3x²; der fehlende konstante Faktor 3 wird durch ⅓ ausgeglichen. Ohne ⅓ wäre F′ das Dreifache von f.
Berechne ∫₀¹ 2x · e^(x²) dx (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: F(x) = e^(x²). F(1) − F(0) = e − 1 ≈ 1,72.
Berechne ∫₀¹ x · e^(−x²) dx (auf 3 Dezimalen).
Erklärung: Im Exponenten steht −x² mit der Ableitung −2x; im Integranden steht x, das ist −½ · (−2x). Also F(x) = −½ · e^(−x²) und F(1) − F(0) = −½ · e⁻¹ + ½ = ½ · (1 − 1/e) ≈ 0,316.
Der Integrand 6x² · e^(2x³) hat die Form f′(x) · e^(f(x)). Welche Funktion ist f?
Erklärung: f ist die Funktion im Exponenten: f(x) = 2x³. Ihre Ableitung f′(x) = 6x² steht als Faktor davor. Also ist e^(2x³) eine Stammfunktion.
Jemand behauptet: ∫ 2x · e^(x²) dx = x · e^(x²) + C. Probe durch Ableiten: Was ist F′(x) für F(x) = x · e^(x²)?
Erklärung: Produktregel: F′(x) = e^(x²) + x · 2x · e^(x²) = e^(x²) + 2x² · e^(x²). Das ist nicht 2x · e^(x²): Die Probe zeigt, dass die Behauptung falsch ist. Richtig ist F(x) = e^(x²).
Probe durch Ableiten: F(x) = ln(x² + 1). Wie groß ist F′(1)?
Erklärung: F′(x) = 2x/(x² + 1). Bei x = 1 ist F′(1) = 2/2 = 1. Das ist der Integrand 2x/(x² + 1) an der Stelle 1: F passt.
Berechne ∫₁² (2x + 1) / (x² + x) dx (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: Der Zähler 2x + 1 ist die Ableitung des Nenners x² + x: F(x) = ln|x² + x|. F(2) − F(1) = ln 6 − ln 2 = ln 3 ≈ 1,10.
Berechne ∫₀¹ 4x · e^(x² + 1) dx. Benenne die innere Funktion f und ihre Ableitung, gib eine Stammfunktion an, weise sie durch Ableiten nach und berechne den Wert.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die innere Funktion ist x² + 1 mit der Ableitung 2x; der Integrand ist 2 · (2x) · e^(x² + 1). Die Probe durch Ableiten bestätigt F(x) = 2 · e^(x² + 1).