Integrationsregeln

Integration rules

Mathematik Klasse 13 18 Aufgaben

AnalysisIntegrationStammfunktion

Die Kettenregel rückwärts gelesen liefert drei Integrationsregeln: ∫ f(ax + b) dx = 1/a · F(ax + b), ∫ f′/f dx = ln|f| und ∫ f′ · e^f dx = e^f. Der Abschnitt übt, die passende Regel am Integranden zu erkennen und das Ergebnis durch Ableiten zu prüfen. Er räumt vier Fehler aus: den Faktor 1/a vergessen, Zähler und Nenner einzeln integrieren, Faktoren einzeln integrieren und durch die innere Ableitung teilen, wo die Verkettung nicht linear ist. Er bereitet uneigentliche Integrale, Sachaufgaben der Analysis und die Normalverteilung vor.

Innere Funktion ax + b

Liest man die Kettenregel rückwärts, entstehen Integrationsregeln; die erste heißt hier 1/a-Regel. Es gilt $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ : Die innere Ableitung 2 erscheint als Faktor. Also ist $e^{2 x}$ keine Stammfunktion von $e^{2 x}$ , sondern von $2 e^{2 x}$ . Man gleicht den Faktor aus:

$\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$

Dabei ist $F$ eine Stammfunktion von f. Beispiele: $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ und $\int (3 x + 1)^{2} d x = \frac{( 3 x + 1 ) ^{3}}{9} + C$ (einmal durch 3 wegen der inneren Ableitung, einmal durch 3 wegen des Exponenten).

Ändere a. Die Fläche unter e^(ax) von 0 bis 1 ist (e^a − 1)/a; der Chip e^a hilft beim Nachrechnen. Bei a = 2 sind es 3,19.

Zähler ist die Ableitung des Nenners

Steht im Zähler die Ableitung des Nenners, gilt die ln-Regel: $\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C$ , denn $(ln ∣ f ∣)^{'} = \frac{f ^{'}}{f}$ . Beispiel: $f (x) = x^{2} + 1$ hat die Ableitung $2 x$ , also $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C$ . Fehlt nur ein konstanter Faktor, gleicht man ihn aus: $\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$ . Bei $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ geht das nicht: Der Zähler 1 ist kein Vielfaches von 2x. Die Betragsstriche brauchst du, wenn f negativ werden kann, etwa bei $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .

Stelle b = 3 ein: Die Fläche unter dem Graphen ist ln 10 ≈ 2,303. Prüfe ln(1 + b²) auch bei b = 6.

Ableitung im Exponenten und die Probe

Steht im Exponenten eine Funktion f und davor ihre Ableitung, gilt die e-Regel: $\int f^{'} (x) e^{f (x)} d x = e^{f (x)} + C$ . Beispiel: $f (x) = - x^{2}$ hat die Ableitung $- 2 x$ , also $\int - 2 x e^{- x^{2}} d x = e^{- x^{2}} + C$ . Fehlt der Faktor f′ ganz, ist das meist nicht möglich: Für $e^{x^{2}}$ gibt es keine Stammfunktion, die man als Term aus den bekannten Funktionen schreiben kann.

Welche Regel passt? Suche die Ableitung der inneren Funktion: als Zähler (ln-Regel), als Faktor vor $e^{f}$ (e-Regel); steht innen nur ax + b, gilt die 1/a-Regel. Die Probe: Leite die Stammfunktion ab, der Integrand muss herauskommen.

Verschiebe x. Die Tangente an F = e^(−x²) hat die Steigung −2x·e^(−x²): Bei x = 1 zeigt der Chip −0,736.

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = e^(2x)?

● ½ · e^(2x)
○ e^(2x)
○ 2 · e^(2x)

(½ · e^(2x))′ = ½ · 2 · e^(2x) = e^(2x). Ohne den Faktor ½ leitet e^(2x) auf 2 · e^(2x) ab; mit dem Faktor 2 sogar auf 4 · e^(2x).

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

F(x) = (3x + 1)³ ist eine Stammfunktion von f(x) = (3x + 1)².

✓ Falsch

F′(x) = 3 · (3x + 1)² · 3 = 9 · (3x + 1)², nicht (3x + 1)². Eine Stammfunktion ist (3x + 1)³ / 9: erst durch die innere Ableitung 3 und durch den Exponenten 3 teilen.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x / (x² + 1)?

● ln(x² + 1)
○ x² / (x³/3 + x)
○ 2 · ln(x² + 1)

Der Zähler 2x ist die Ableitung des Nenners x² + 1. Also F(x) = ln(x² + 1) mit F′(x) = 2x/(x² + 1). x² / (x³/3 + x) entsteht, wenn man Zähler und Nenner einzeln integriert; das ist keine Regel. 2 · ln(x² + 1) leitet auf 4x/(x² + 1) ab.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Bei welchem Integranden liefert die ln-Regel (bis auf einen konstanten Faktor) eine Stammfunktion?

● 3x² / (x³ + 5)
○ 1 / (x² + 1)
○ x / (x² + 1)²

3x² ist die Ableitung des Nenners x³ + 5: ln|x³ + 5| ist eine Stammfunktion. Bei 1/(x² + 1) ist der Zähler kein Vielfaches von 2x. Bei x/(x² + 1)² steht der Nenner quadriert; dort ist −1/(2(x² + 1)) eine Stammfunktion, kein Logarithmus.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x · e^(x²)?

● e^(x²)
○ x² · e^(x²)
○ e^(x²) / (2x)

Im Exponenten steht x², seine Ableitung 2x steht als Faktor davor: F(x) = e^(x²) mit F′(x) = 2x · e^(x²). x² · e^(x²) integriert die Faktoren einzeln; die Ableitung ist 2x · e^(x²) + 2x³ · e^(x²). e^(x²)/(2x) teilt durch die innere Ableitung wie bei ax + b; das geht nur, wenn die Verkettung linear ist.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Bei welchem Integranden liefert die e-Regel (bis auf einen konstanten Faktor) eine Stammfunktion?

● 3x² · e^(x³)
○ x² · e^(2x)
○ e^(x²)

Im Exponenten steht x³, seine Ableitung 3x² steht als Faktor davor: F(x) = e^(x³). Bei x² · e^(2x) passt der Faktor x² nicht zur inneren Ableitung 2; bei e^(x²) fehlt der Faktor 2x ganz (dafür gibt es keine Stammfunktion als Term).

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

F(x) = ⅓ · e^(x³) ist eine Stammfunktion von f(x) = x² · e^(x³).

✓ Wahr

Richtig. F′(x) = ⅓ · 3x² · e^(x³) = x² · e^(x³). Im Exponenten steht x³ mit der Ableitung 3x²; der fehlende konstante Faktor 3 wird durch ⅓ ausgeglichen. Ohne ⅓ wäre F′ das Dreifache von f.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der Integrand 6x² · e^(2x³) hat die Form f′(x) · e^(f(x)). Welche Funktion ist f?

● f(x) = 2x³
○ f(x) = 6x²
○ f(x) = e^(2x³)

f ist die Funktion im Exponenten: f(x) = 2x³. Ihre Ableitung f′(x) = 6x² steht als Faktor davor. Also ist e^(2x³) eine Stammfunktion.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Jemand behauptet: ∫ 2x · e^(x²) dx = x · e^(x²) + C. Probe durch Ableiten: Was ist F′(x) für F(x) = x · e^(x²)?

● e^(x²) + 2x² · e^(x²)
○ 2x · e^(x²)
○ x · e^(x²)

Produktregel: F′(x) = e^(x²) + x · 2x · e^(x²) = e^(x²) + 2x² · e^(x²). Das ist nicht 2x · e^(x²): Die Probe zeigt, dass die Behauptung falsch ist. Richtig ist F(x) = e^(x²).

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze die Zahl: ∫ e^(3x) dx = e^(3x) / ___ + C

✓ Antwort: 3

(e^(3x))′ = 3 · e^(3x). Damit die Ableitung e^(3x) ergibt, teilt man durch die innere Ableitung 3.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Berechne ∫ von −2 bis −1 über 1/x dx (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: -0.69

Auf ]−∞ ; 0[ ist F(x) = ln|x| eine Stammfunktion von 1/x. F(−1) − F(−2) = ln 1 − ln 2 = −0,69. Negativ, weil die Fläche unterhalb der x-Achse liegt.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Berechne ∫₀¹ 2x · e^(x²) dx (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: 1.72

F(x) = e^(x²). F(1) − F(0) = e − 1 ≈ 1,72.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Probe durch Ableiten: F(x) = ln(x² + 1). Wie groß ist F′(1)?

✓ Antwort: 1

F′(x) = 2x/(x² + 1). Bei x = 1 ist F′(1) = 2/2 = 1. Das ist der Integrand 2x/(x² + 1) an der Stelle 1: F passt.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Berechne ∫₀² (3x + 1)² dx.

✓ Antwort: 38

Stammfunktion F(x) = (3x + 1)³ / 9. F(2) − F(0) = 343/9 − 1/9 = 342/9 = 38.

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Berechne ∫₀² x / (x² + 1) dx (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: 0.8

x ist nur die Hälfte der Ableitung 2x des Nenners: F(x) = ½ · ln(x² + 1). F(2) − F(0) = ½ · ln 5 − ½ · ln 1 = ½ · ln 5 ≈ 0,80.

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Berechne ∫₀¹ x · e^(−x²) dx (auf 3 Dezimalen).

✓ Antwort: 0.316

Im Exponenten steht −x² mit der Ableitung −2x; im Integranden steht x, das ist −½ · (−2x). Also F(x) = −½ · e^(−x²) und F(1) − F(0) = −½ · e⁻¹ + ½ = ½ · (1 − 1/e) ≈ 0,316.

Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Berechne ∫₁² (2x + 1) / (x² + x) dx (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: 1.1

Der Zähler 2x + 1 ist die Ableitung des Nenners x² + x: F(x) = ln|x² + x|. F(2) − F(1) = ln 6 − ln 2 = ln 3 ≈ 1,10.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Berechne ∫₀¹ 4x · e^(x² + 1) dx. Benenne die innere Funktion f und ihre Ableitung, gib eine Stammfunktion an, weise sie durch Ableiten nach und berechne den Wert. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Innere Funktion f(x) = x² + 1 mit f′(x) = 2x. Der Integrand 4x · e^(x² + 1) = 2 · f′(x) · e^(f(x)); eine Stammfunktion ist F(x) = 2 · e^(x² + 1). Probe: F′(x) = 2 · 2x · e^(x² + 1) = 4x · e^(x² + 1). Wert: F(1) − F(0) = 2e² − 2e = 2(e² − e) ≈ 9,34.

Die innere Funktion ist x² + 1 mit der Ableitung 2x; der Integrand ist 2 · (2x) · e^(x² + 1). Die Probe durch Ableiten bestätigt F(x) = 2 · e^(x² + 1).