Rotationskörper
Eine dünne Scheibe des Rotationskörpers bei x = 2 hat die Dicke 0,1, und der Graph hat dort den Wert f(2) = 3. Welches Volumen hat die Scheibe ungefähr?
Erklärung: Die Scheibe ist fast ein Zylinder mit Radius f(2) = 3 und Höhe 0,1: ΔV ≈ π · f(2)² · Δx = π · 9 · 0,1 ≈ 2,83. Ohne das Quadrat (0,94) rechnet man mit dem Radius statt mit der Kreisfläche π · r²; ohne π (0,9) fehlt der Kreis.
Zwei gleich dicke Scheiben eines Rotationskörpers haben die Radien f(1) = 2 und f(3) = 4. Wie verhalten sich ihre Volumina?
Erklärung: ΔV ≈ π · f(x)² · Δx: Der Radius geht quadriert ein. Das Verhältnis ist 4² : 2² = 16 : 4 = 4. Das Doppelte wäre der Faktor des Radius, nicht der Scheibe.
Eine Scheibe hat den Radius 4 und die Dicke 0,5. Wie groß ist ihr Volumen (auf 2 Dezimalen)?
Erklärung: V ≈ π · r² · Dicke = π · 16 · 0,5 = 8π ≈ 25,13.
Der Graph von f(x) = x auf [0 ; 4] rotiert um die x-Achse. Man nähert das Volumen durch zwei Scheiben der Dicke 2 bei x = 1 und x = 3 (Radien f(1) und f(3)). Wie groß ist die Summe ihrer Volumina (auf 2 Dezimalen)?
Erklärung: V₁ = π · 1² · 2 = 2π, V₂ = π · 3² · 2 = 18π. Summe 20π ≈ 62,83. Der genaue Wert ist 64π/3 ≈ 67,02; mit mehr Scheiben wird die Näherung besser.
Der Graph von f(x) = √x auf [0 ; 9] rotiert um die x-Achse. Welches Integral gibt das Volumen des Körpers an?
Erklärung: V = π · ∫ (f(x))² dx, und (√x)² = x, also V = π · ∫₀⁹ x dx. Ohne das Quadrat von f (zweite Rechnung) integriert man nur die Fläche unter dem Graphen; das Quadrat des ganzen Integrals (dritte) quadriert an der falschen Stelle.
Der Graph von f(x) = 2 auf [0 ; 3] rotiert um die x-Achse. Welches Integral gibt das Volumen an?
Erklärung: V = π · ∫₀³ (f(x))² dx = π · ∫₀³ 4 dx = 12π (ein Zylinder mit Radius 2 und Länge 3). Die zweite Rechnung vergisst das Quadrat; 2π gehört zum Kreisumfang, nicht zur Kreisfläche.
Der Graph von f(x) = x² auf [0 ; 2] rotiert um die x-Achse. Berechne V = π · ∫₀² x⁴ dx (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: F(x) = x⁵/5. V = π · (32/5 − 0) = 32π/5 ≈ 20,11.
Der Graph von f(x) = √x auf [1 ; 4] rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: V = π · ∫₁⁴ x dx = π · [x²/2] von 1 bis 4 = π · (8 − 0,5) = 7,5π ≈ 23,56.
Es sei f(x) = x + 2. Welcher Term ist (f(x))²?
Erklärung: Binomische Formel: (x + 2)² = x² + 2 · x · 2 + 2² = x² + 4x + 4. Bei x² + 4 fehlt der mittlere Term; bei x² + 2x + 4 ist er falsch berechnet.
Der Graph von f(x) = √(x + 1) auf [0 ; 3] rotiert um die x-Achse. Welcher Term steht im Volumenintegral hinter dem π, also (f(x))²?
Erklärung: Quadrieren hebt die Wurzel auf: (√(x + 1))² = x + 1. Der Term √(x + 1) wäre f selbst, ohne Quadrat. (x + 1)² quadriert die Klammer statt der Wurzel.
Es sei f(x) = x + 1, also (f(x))² = x² + ▢ · x + 1. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Erklärung: (x + 1)² = x² + 2 · x · 1 + 1 = x² + 2x + 1. Das Kästchen ist 2; wer x² + 1 schreibt, lässt den mittleren Term weg.
Der Graph von f(x) = x + 1 auf [0 ; 2] rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: V = π · ∫₀² (x² + 2x + 1) dx = π · [x³/3 + x² + x] von 0 bis 2 = π · (8/3 + 4 + 2) = 26π/3 ≈ 27,23.
Der Graph von f(x) = ½x + 1 auf [0 ; 4] rotiert um die x-Achse. Skizziere den Graphen, quadriere f(x), berechne das Volumen mit der Integralformel und prüfe es mit der Formel für den Kegelstumpf V = πh/3 · (r₁² + r₁r₂ + r₂²).
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Quadrieren mit der binomischen Formel: (½x + 1)² = ¼x² + x + 1. Das Ergebnis 52π/3 stimmt mit der Kegelstumpfformel überein.
Der Graph von f(x) = 2x auf [0 ; 3] rotiert um die x-Achse. Welcher Körper entsteht?
Erklärung: Die Gerade durch den Ursprung ergibt einen Kegel. Der Radius am Ende ist f(3) = 6, die Höhe (Länge auf der x-Achse) ist 3. Ein Zylinder entstünde nur bei konstantem f; Radius und Höhe sind nicht vertauscht.
Die Rotation von f(x) = 1,5 auf [0 ; 4] ergibt einen Zylinder. Welches Volumen liefert die Integralformel?
Erklärung: V = π · ∫₀⁴ 1,5² dx = π · 2,25 · 4 = 9π. 6π (= π · 1,5 · 4) vergisst das Quadrat; 2,25π ist nur die Grundfläche, ohne die Länge 4.
Ein Kegel hat den Radius 3 und die Höhe 6. Wie groß ist sein Volumen V = ⅓ · π · r² · h (auf 2 Dezimalen)?
Erklärung: V = ⅓ · π · 9 · 6 = 18π ≈ 56,55. Mit der Integralformel für f(x) = x/2 auf [0 ; 6] ergibt sich derselbe Wert.
Der Halbkreis f(x) = √(9 − x²) auf [−3 ; 3] rotiert um die x-Achse und ergibt eine Kugel mit Radius 3. Berechne das Volumen mit der Integralformel (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: (f(x))² = 9 − x². V = π · ∫₋₃³ (9 − x²) dx = π · [9x − x³/3] von −3 bis 3 = π · (18 + 18) = 36π ≈ 113,10. Kontrolle: 4/3 · π · 3³ = 36π.