Rotationskörper

Solids of revolution

Mathematik Klasse 13 17 Aufgaben

AnalysisIntegrationRotationskörper

Rotiert der Graph von f über [a ; b] um die x-Achse, entsteht ein Körper aus dünnen Scheiben mit dem Radius f(x); sein Volumen ist V = π · ∫ₐᵇ (f(x))² dx. Der Abschnitt übt das Quadrieren vor dem Integrieren ein ((x + 1)² = x² + 2x + 1) und die Probe an Zylinder, Kegel und Kugel. Er räumt die Fehler aus, das Quadrat oder π zu vergessen, 2π statt π zu schreiben und (π · ∫ f)² zu rechnen. Er bereitet Anwendungsaufgaben der Analysis vor, in denen ein Volumen aus einem Funktionsterm folgt.

Eine Scheibe dreht sich

Dreht man den Graphen von f über $[a; b]$ um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper. Schneidet man ihn in dünne Scheiben der Dicke $Δ x$ , ist jede Scheibe fast ein Zylinder: Der Radius ist der Funktionswert $f (x)$ , die Grundfläche $π f (x)^{2}$ . Also gilt $Δ V \approx π f (x)^{2} Δ x$ Wichtig ist das Quadrat: Verdoppelt sich der Radius, wird die Scheibe viermal so groß. Im Bild sind es Rechtecke unter $f (x) = x$ ; jedes Rechteck ergibt beim Drehen eine solche Scheibe. Alle Scheiben zusammen füllen den Körper fast aus, und je dünner sie sind, desto genauer.

Erhöhe die Anzahl n der Scheiben. Wie ändert sich die Dicke Δx, und wie gut füllen die Rechtecke die Fläche?

Volumen als Integral

Addiert man alle Scheiben und lässt ihre Dicke gegen 0 gehen, entsteht ein Integral: $V = π \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x$ Man quadriert f(x) zuerst und integriert danach. Für $f (x) = x$ ist $f (x)^{2} = x$ , also $V = π \int_{0}^{4} x d x = 8 π \approx 25, 13$ . Für $f (x) = x + 1$ ist $f (x)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ , nicht $x^{2} + 1$ , und $V = π \int_{0}^{1} (x^{2} + 2 x + 1) d x = \frac{7 π}{3} \approx 7, 33$ . Das Volumen ist die Fläche unter dem Graphen von $π f (x)^{2}$ .

Verschiebe b. Die Fläche unter π·x ist das Volumen des Körpers von 0 bis b; bei b = 4 sind es 8π.

Die Probe mit dem Kegel

Ob das Ergebnis stimmt, prüft man an Körpern mit bekanntem Volumen. Die Gerade $f (x) = x$ auf $[0; 3]$ ergibt einen Kegel mit dem Radius 3 und der Höhe 3. Die Integralformel liefert $V = π \int_{0}^{3} x^{2} d x = 9 π$ , und die Kegelformel $\frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 9 \cdot 3 = 9 π$ . Bei konstantem $f (x) = r$ folgt $V = π r^{2} h$ , der Zylinder. Stimmt das Ergebnis mit einer bekannten Formel überein, ist die Rechnung plausibel.

Die Gerade f(x) = x über [0 ; 3] ergibt beim Drehen einen Kegel mit Radius 3 und Höhe 3: V = 9π.

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Eine dünne Scheibe des Rotationskörpers bei x = 2 hat die Dicke 0,1, und der Graph hat dort den Wert f(2) = 3. Welches Volumen hat die Scheibe ungefähr?

● π · 3² · 0,1 ≈ 2,83
○ π · 3 · 0,1 ≈ 0,94
○ 3² · 0,1 = 0,9

Die Scheibe ist fast ein Zylinder mit Radius f(2) = 3 und Höhe 0,1: ΔV ≈ π · f(2)² · Δx = π · 9 · 0,1 ≈ 2,83. Ohne das Quadrat (0,94) rechnet man mit dem Radius statt mit der Kreisfläche π · r²; ohne π (0,9) fehlt der Kreis.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Zwei gleich dicke Scheiben eines Rotationskörpers haben die Radien f(1) = 2 und f(3) = 4. Wie verhalten sich ihre Volumina?

● Die zweite hat das Vierfache.
○ Die zweite hat das Doppelte.
○ Beide haben das gleiche Volumen.

ΔV ≈ π · f(x)² · Δx: Der Radius geht quadriert ein. Das Verhältnis ist 4² : 2² = 16 : 4 = 4. Das Doppelte wäre der Faktor des Radius, nicht der Scheibe.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = √x auf [0 ; 9] rotiert um die x-Achse. Welches Integral gibt das Volumen des Körpers an?

● π · ∫₀⁹ x dx
○ π · ∫₀⁹ √x dx
○ (π · ∫₀⁹ √x dx)²

V = π · ∫ (f(x))² dx, und (√x)² = x, also V = π · ∫₀⁹ x dx. Ohne das Quadrat von f (zweite Rechnung) integriert man nur die Fläche unter dem Graphen; das Quadrat des ganzen Integrals (dritte) quadriert an der falschen Stelle.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 2 auf [0 ; 3] rotiert um die x-Achse. Welches Integral gibt das Volumen an?

● π · ∫₀³ 4 dx
○ π · ∫₀³ 2 dx
○ 2π · ∫₀³ 2 dx

V = π · ∫₀³ (f(x))² dx = π · ∫₀³ 4 dx = 12π (ein Zylinder mit Radius 2 und Länge 3). Die zweite Rechnung vergisst das Quadrat; 2π gehört zum Kreisumfang, nicht zur Kreisfläche.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Es sei f(x) = x + 2. Welcher Term ist (f(x))²?

● x² + 4x + 4
○ x² + 4
○ x² + 2x + 4

Binomische Formel: (x + 2)² = x² + 2 · x · 2 + 2² = x² + 4x + 4. Bei x² + 4 fehlt der mittlere Term; bei x² + 2x + 4 ist er falsch berechnet.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = √(x + 1) auf [0 ; 3] rotiert um die x-Achse. Welcher Term steht im Volumenintegral hinter dem π, also (f(x))²?

● x + 1
○ √(x + 1)
○ (x + 1)²

Quadrieren hebt die Wurzel auf: (√(x + 1))² = x + 1. Der Term √(x + 1) wäre f selbst, ohne Quadrat. (x + 1)² quadriert die Klammer statt der Wurzel.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 2x auf [0 ; 3] rotiert um die x-Achse. Welcher Körper entsteht?

● Ein Kegel mit Radius 6 und Höhe 3
○ Ein Zylinder mit Radius 6 und Höhe 3
○ Ein Kegel mit Radius 3 und Höhe 6

Die Gerade durch den Ursprung ergibt einen Kegel. Der Radius am Ende ist f(3) = 6, die Höhe (Länge auf der x-Achse) ist 3. Ein Zylinder entstünde nur bei konstantem f; Radius und Höhe sind nicht vertauscht.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Die Rotation von f(x) = 1,5 auf [0 ; 4] ergibt einen Zylinder. Welches Volumen liefert die Integralformel?

● 9π
○ 6π
○ 2,25π

V = π · ∫₀⁴ 1,5² dx = π · 2,25 · 4 = 9π. 6π (= π · 1,5 · 4) vergisst das Quadrat; 2,25π ist nur die Grundfläche, ohne die Länge 4.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Eine Scheibe hat den Radius 4 und die Dicke 0,5. Wie groß ist ihr Volumen (auf 2 Dezimalen)?

✓ Antwort: 25.13

V ≈ π · r² · Dicke = π · 16 · 0,5 = 8π ≈ 25,13.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x² auf [0 ; 2] rotiert um die x-Achse. Berechne V = π · ∫₀² x⁴ dx (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: 20.11

F(x) = x⁵/5. V = π · (32/5 − 0) = 32π/5 ≈ 20,11.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Es sei f(x) = x + 1, also (f(x))² = x² + ▢ · x + 1. Welche Zahl gehört in das Kästchen?

✓ Antwort: 2

(x + 1)² = x² + 2 · x · 1 + 1 = x² + 2x + 1. Das Kästchen ist 2; wer x² + 1 schreibt, lässt den mittleren Term weg.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Ein Kegel hat den Radius 3 und die Höhe 6. Wie groß ist sein Volumen V = ⅓ · π · r² · h (auf 2 Dezimalen)?

✓ Antwort: 56.55

V = ⅓ · π · 9 · 6 = 18π ≈ 56,55. Mit der Integralformel für f(x) = x/2 auf [0 ; 6] ergibt sich derselbe Wert.

Schwer

Zahleneingabe #1 50s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x auf [0 ; 4] rotiert um die x-Achse. Man nähert das Volumen durch zwei Scheiben der Dicke 2 bei x = 1 und x = 3 (Radien f(1) und f(3)). Wie groß ist die Summe ihrer Volumina (auf 2 Dezimalen)?

✓ Antwort: 62.83

V₁ = π · 1² · 2 = 2π, V₂ = π · 3² · 2 = 18π. Summe 20π ≈ 62,83. Der genaue Wert ist 64π/3 ≈ 67,02; mit mehr Scheiben wird die Näherung besser.

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = √x auf [1 ; 4] rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: 23.56

V = π · ∫₁⁴ x dx = π · [x²/2] von 1 bis 4 = π · (8 − 0,5) = 7,5π ≈ 23,56.

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x + 1 auf [0 ; 2] rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: 27.23

V = π · ∫₀² (x² + 2x + 1) dx = π · [x³/3 + x² + x] von 0 bis 2 = π · (8/3 + 4 + 2) = 26π/3 ≈ 27,23.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = ½x + 1 auf [0 ; 4] rotiert um die x-Achse. Skizziere den Graphen, quadriere f(x), berechne das Volumen mit der Integralformel und prüfe es mit der Formel für den Kegelstumpf V = πh/3 · (r₁² + r₁r₂ + r₂²). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Gerade von (0 | 1) nach (4 | 3), der Körper ist ein Kegelstumpf mit r₁ = 1, r₂ = 3, h = 4. (f(x))² = ¼x² + x + 1. V = π · ∫₀⁴ (¼x² + x + 1) dx = π · [x³/12 + x²/2 + x] von 0 bis 4 = π · (16/3 + 8 + 4) = 52π/3 ≈ 54,45. Kontrolle: π · 4/3 · (1 + 3 + 9) = 52π/3.

Quadrieren mit der binomischen Formel: (½x + 1)² = ¼x² + x + 1. Das Ergebnis 52π/3 stimmt mit der Kegelstumpfformel überein.

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

Der Halbkreis f(x) = √(9 − x²) auf [−3 ; 3] rotiert um die x-Achse und ergibt eine Kugel mit Radius 3. Berechne das Volumen mit der Integralformel (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: 113.1

(f(x))² = 9 − x². V = π · ∫₋₃³ (9 − x²) dx = π · [9x − x³/3] von −3 bis 3 = π · (18 + 18) = 36π ≈ 113,10. Kontrolle: 4/3 · π · 3³ = 36π.