Welcher Ausdruck steht für das uneigentliche Integral ∫ von 1 bis ∞ über 1/x² dx?

Erklärung: Das uneigentliche Integral ist der Grenzwert der Integrale ∫₁ᵇ 1/x² dx für b → ∞. lim (x → ∞) 1/x² = 0 ist der Grenzwert des Integranden, also eine andere Größe. Ein festes großes b liefert nur eine Näherung.

∫ von 1 bis ∞ über 1/x² dx = 0, weil 1/x² für x → ∞ gegen 0 geht.

Erklärung: ∫₁ᵇ 1/x² dx = 1 − 1/b und das strebt für b → ∞ gegen 1, nicht gegen 0. Der Grenzwert des Integranden sagt nicht, wie viel Fläche sich bis dahin angesammelt hat.

Für das uneigentliche Integral ∫ von 0 bis ∞ über e^(−x) dx beginnt man mit ∫₀ᵇ e^(−x) dx = 1 − e^(−b). Berechne diesen Wert für b = 4 (auf 3 Dezimalen).

Erklärung: 1 − e^(−4) = 1 − 0,0183 = 0,982. Mit wachsendem b kommt die Fläche der Zahl 1 immer näher.

Es gilt ∫₁ᵇ 1/x² dx = 1 − 1/b. Wie groß ist der Teil des Werts 1 des uneigentlichen Integrals, der bei b = 50 noch fehlt?

Erklärung: Bis b = 50 sind 1 − 1/50 = 0,98 der Fläche erreicht. Es fehlen 1 − 0,98 = 0,02 (das ist 1/50).

Für b = 10, 100 und 1000 hat ∫₁ᵇ 1/x dx die Werte 2,30; 4,61 und 6,91 (gerundet). Was gilt für ∫ von 1 bis ∞ über 1/x dx?

Erklärung: Bei jeder Verzehnfachung von b kommen etwa 2,30 dazu (∫₁ᵇ 1/x dx = ln b). Die Werte wachsen über alle Grenzen: das Integral divergiert. Der letzte Wert 6,91 ist keine Grenze, und 0 passt nicht zu wachsenden positiven Werten.

Der Streifen unter dem Graphen von f(x) = 1/x² ab x = 1 ist unendlich lang. Was gilt für seinen Flächeninhalt?

Erklärung: ∫₁ᵇ 1/x² dx = 1 − 1/b strebt gegen 1: endlicher Inhalt trotz unendlicher Länge. „Unendlich lang“ heißt nicht „unendlich groß“, und 0 wäre falsch, denn schon ∫₁² 1/x² dx = 0,5.

Weil 1/x für x → ∞ gegen 0 geht, konvergiert ∫ von 1 bis ∞ über 1/x dx.

Erklärung: ∫₁ᵇ 1/x dx = ln b wächst über alle Grenzen. Dass der Integrand gegen 0 geht, reicht für Konvergenz nicht aus: Er muss schnell genug fallen (1/x² tut es, 1/x nicht).

Es ist ∫₁ᵇ x^(−1/2) dx = 2√b − 2, und das wächst für b → ∞ über alle Grenzen. Das uneigentliche Integral von 1 bis ∞ über x^(−1/2) dx ___ (schreibe „konvergiert“ oder „divergiert“).

Erklärung: 2√b − 2 strebt für b → ∞ gegen ∞. Es gibt keinen endlichen Grenzwert, also divergiert das Integral, obwohl x^(−1/2) gegen 0 geht.

Bei welchem b hat ∫₁ᵇ 1/x dx = ln b den Wert 5? (auf 1 Dezimale)

Erklärung: ln b = 5 ergibt b = e⁵ ≈ 148,4. Das Integral wächst zwar ohne Grenze, aber sehr langsam.

Welchen Wert hat das uneigentliche Integral ∫ von 2 bis ∞ über 1/x² dx?

Erklärung: F(x) = −1/x. ∫₂ᵇ 1/x² dx = −1/b + 1/2, und das strebt für b → ∞ gegen 1/2. Der Wert 0 ergibt sich, wenn man den Anteil −F(2) = 1/2 vergisst; ∞ wäre bei unendlich langem Streifen nur falsch geschlossen.

∫ von 0 bis ∞ über e^(−x) dx = 1: Die 1 stammt aus dem Anteil −F(0), denn e^(−b) geht für b → ∞ gegen 0.

Erklärung: Richtig. ∫₀ᵇ e^(−x) dx = −e^(−b) − (−e⁰) = 1 − e^(−b). Der Term e^(−b) geht gegen 0, übrig bleibt −F(0) = 1. Wer den Wert 0 nennt, vergisst den Anteil −F(0).

Berechne ∫ von 1 bis ∞ über x^(−3) dx.

Erklärung: F(x) = −1/(2x²). ∫₁ᵇ x^(−3) dx = 1/2 − 1/(2b²) → 1/2, denn 1/(2b²) → 0.

Berechne ∫ von 0 bis ∞ über 3 · e^(−x) dx.

Erklärung: F(x) = −3 · e^(−x). ∫₀ᵇ 3 · e^(−x) dx = 3 − 3 · e^(−b) → 3. Der Faktor 3 bleibt vor dem Grenzwert stehen.

Untersuche die uneigentlichen Integrale ∫ von 1 bis ∞ über x^(−1/2) dx und ∫ von 1 bis ∞ über x^(−3/2) dx. Berechne jeweils zuerst das Integral von 1 bis b und lass dann b → ∞ gehen. Gib an, welches konvergiert, und bestimme dessen Wert. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Beide Integranden gehen gegen 0, aber nur x^(−3/2) fällt schnell genug: 2 − 2/√b → 2, während 2√b − 2 unbegrenzt wächst.

Welcher Term geht für b → ∞ gegen 0?

Erklärung: e^(−b) = 1/e^b wird beliebig klein. ln b und √b wachsen über alle Grenzen, ln b nur sehr langsam.

Welcher Term wächst für b → ∞ über alle Grenzen?

Erklärung: ln b wächst langsam, aber ohne Grenze: ln b = 5 erst bei b ≈ 148. 1/b² und e^(−2b) gehen gegen 0.

Bestimme lim (b → ∞) (3 − 1/b).

Erklärung: 1/b geht gegen 0, also strebt 3 − 1/b gegen 3.

Ab welcher ganzen Zahl b ist e^(−b) kleiner als 0,001? Gib die kleinste solche Zahl an.

Erklärung: e^(−6) ≈ 0,0025 ist noch zu groß, e^(−7) ≈ 0,0009 ist kleiner als 0,001. Die kleinste solche Zahl ist 7.

Aufgabe 1 von 18