Uneigentliche Integrale

Improper integrals

Mathematik Klasse 13 18 Aufgaben

AnalysisIntegrationUneigentliches Integral

Ein Streifen unter dem Graphen kann nach rechts unbegrenzt weit reichen. Sein Inhalt ist der Grenzwert ∫ₐ^∞ f dx = lim (b → ∞) ∫ₐᵇ f dx: erst mit endlichem b rechnen, dann b wachsen lassen. Endlicher Grenzwert heißt konvergent, sonst divergent. Der Abschnitt räumt drei Fehler aus: „unendlich lang heißt unendlich groß“, „f(x) → 0 genügt für Konvergenz“ und ∞ wie eine Zahl in die Stammfunktion einzusetzen. Er bereitet die Dichtefunktion der Normalverteilung vor, bei der die Gesamtfläche bis ∞ genau 1 ist.

Bis b und weiter

Ein Streifen unter dem Graphen von $f (x) = e^{- x}$ kann nach rechts beliebig weit reichen. Wie groß ist die Fläche ab 0, wenn er unendlich lang ist? Man beginnt mit einem endlichen Ende b: $\int_{0}^{b} e^{- x} d x = 1 - e^{- b}$ . Für b = 3 sind das 0,95, für b = 5 schon 0,993. Lässt man b wachsen, nähert sich die Fläche der Zahl 1.

Das uneigentliche Integral ist genau dieser Grenzwert: $\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = b \to \infty lim \int_{0}^{b} e^{- x} d x = 1$ Das Zeichen ∞ wird nie wie eine Zahl in die Stammfunktion eingesetzt. Man rechnet mit b und bildet danach den Grenzwert.

Verschiebe b. Wie viel fehlt der Fläche noch bis 1, wenn b = 9 ist?

Den Grenzwert bestimmen

Der Wert entsteht aus $F (b) - F (a)$ und dem Übergang $b \to \infty$ . Beispiel $f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ mit $F (x) = - \frac{1}{x}$ : Es ist $\int_{1}^{b} \frac{1}{x ^{2}} d x = 1 - \frac{1}{b}$ , und $\frac{1}{b} \to 0$ . Der Wert ist 1. Diese Grenzwerte sollte man kennen: $\frac{1}{b ^{n}} \to 0$ für n > 0 und $e^{- b} \to 0$ ; dagegen wachsen $ln b$ und $b$ über alle Grenzen.

Strebt $F (b)$ gegen eine Zahl, heißt das Integral konvergent, wächst es über alle Grenzen, divergent. Für eine untere Grenze $- \infty$ geht man entsprechend vor.

Die violette Kurve ist die Integralfunktion. Sie nähert sich der gestrichelten 1, erreicht sie aber nie.

Konvergent oder divergent

Sowohl $\frac{1}{x}$ als auch $\frac{1}{x ^{2}}$ gehen für $x \to \infty$ gegen 0, und doch verhalten sich ihre Flächen verschieden. $\int_{1}^{b} \frac{1}{x ^{2}} d x = 1 - \frac{1}{b}$ bleibt unter 1. Dagegen wächst $\int_{1}^{b} \frac{1}{x} d x = ln b$ ohne Grenze, wenn auch langsam: Bei b = 30 sind es erst 3,4.

Ein unendlich langer Streifen kann also einen endlichen Inhalt haben. Dass der Graph sich der x-Achse nähert, reicht dafür nicht; er muss schnell genug fallen.

Vergleiche die beiden Flächen bis b. Welche Kurve bleibt unter der gestrichelten 1?

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welcher Ausdruck steht für das uneigentliche Integral ∫ von 1 bis ∞ über 1/x² dx?

● lim (b → ∞) ∫₁ᵇ 1/x² dx
○ lim (x → ∞) 1/x²
○ ∫₁ᵇ 1/x² dx mit b = 1 000 000

Das uneigentliche Integral ist der Grenzwert der Integrale ∫₁ᵇ 1/x² dx für b → ∞. lim (x → ∞) 1/x² = 0 ist der Grenzwert des Integranden, also eine andere Größe. Ein festes großes b liefert nur eine Näherung.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

∫ von 1 bis ∞ über 1/x² dx = 0, weil 1/x² für x → ∞ gegen 0 geht.

✓ Falsch

∫₁ᵇ 1/x² dx = 1 − 1/b und das strebt für b → ∞ gegen 1, nicht gegen 0. Der Grenzwert des Integranden sagt nicht, wie viel Fläche sich bis dahin angesammelt hat.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Für b = 10, 100 und 1000 hat ∫₁ᵇ 1/x dx die Werte 2,30; 4,61 und 6,91 (gerundet). Was gilt für ∫ von 1 bis ∞ über 1/x dx?

● Es divergiert.
○ Es konvergiert gegen etwa 6,91.
○ Es konvergiert gegen 0.

Bei jeder Verzehnfachung von b kommen etwa 2,30 dazu (∫₁ᵇ 1/x dx = ln b). Die Werte wachsen über alle Grenzen: das Integral divergiert. Der letzte Wert 6,91 ist keine Grenze, und 0 passt nicht zu wachsenden positiven Werten.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Streifen unter dem Graphen von f(x) = 1/x² ab x = 1 ist unendlich lang. Was gilt für seinen Flächeninhalt?

● Er beträgt 1.
○ Er ist unendlich groß.
○ Er beträgt 0.

∫₁ᵇ 1/x² dx = 1 − 1/b strebt gegen 1: endlicher Inhalt trotz unendlicher Länge. „Unendlich lang“ heißt nicht „unendlich groß“, und 0 wäre falsch, denn schon ∫₁² 1/x² dx = 0,5.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Weil 1/x für x → ∞ gegen 0 geht, konvergiert ∫ von 1 bis ∞ über 1/x dx.

✓ Falsch

∫₁ᵇ 1/x dx = ln b wächst über alle Grenzen. Dass der Integrand gegen 0 geht, reicht für Konvergenz nicht aus: Er muss schnell genug fallen (1/x² tut es, 1/x nicht).

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welchen Wert hat das uneigentliche Integral ∫ von 2 bis ∞ über 1/x² dx?

● ½
○ 0
○ ∞

F(x) = −1/x. ∫₂ᵇ 1/x² dx = −1/b + 1/2, und das strebt für b → ∞ gegen 1/2. Der Wert 0 ergibt sich, wenn man den Anteil −F(2) = 1/2 vergisst; ∞ wäre bei unendlich langem Streifen nur falsch geschlossen.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

∫ von 0 bis ∞ über e^(−x) dx = 1: Die 1 stammt aus dem Anteil −F(0), denn e^(−b) geht für b → ∞ gegen 0.

✓ Wahr

Richtig. ∫₀ᵇ e^(−x) dx = −e^(−b) − (−e⁰) = 1 − e^(−b). Der Term e^(−b) geht gegen 0, übrig bleibt −F(0) = 1. Wer den Wert 0 nennt, vergisst den Anteil −F(0).

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welcher Term geht für b → ∞ gegen 0?

● e^(−b)
○ ln b
○ √b

e^(−b) = 1/e^b wird beliebig klein. ln b und √b wachsen über alle Grenzen, ln b nur sehr langsam.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Welcher Term wächst für b → ∞ über alle Grenzen?

● ln b
○ 1/b²
○ e^(−2b)

ln b wächst langsam, aber ohne Grenze: ln b = 5 erst bei b ≈ 148. 1/b² und e^(−2b) gehen gegen 0.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für das uneigentliche Integral ∫ von 0 bis ∞ über e^(−x) dx beginnt man mit ∫₀ᵇ e^(−x) dx = 1 − e^(−b). Berechne diesen Wert für b = 4 (auf 3 Dezimalen).

✓ Antwort: 0.982

1 − e^(−4) = 1 − 0,0183 = 0,982. Mit wachsendem b kommt die Fläche der Zahl 1 immer näher.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Es ist ∫₁ᵇ x^(−1/2) dx = 2√b − 2, und das wächst für b → ∞ über alle Grenzen. Das uneigentliche Integral von 1 bis ∞ über x^(−1/2) dx ___ (schreibe „konvergiert“ oder „divergiert“).

✓ Antwort: divergiert

2√b − 2 strebt für b → ∞ gegen ∞. Es gibt keinen endlichen Grenzwert, also divergiert das Integral, obwohl x^(−1/2) gegen 0 geht.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Berechne ∫ von 1 bis ∞ über x^(−3) dx.

✓ Antwort: 0.5

F(x) = −1/(2x²). ∫₁ᵇ x^(−3) dx = 1/2 − 1/(2b²) → 1/2, denn 1/(2b²) → 0.

Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Bestimme lim (b → ∞) (3 − 1/b).

✓ Antwort: 3

1/b geht gegen 0, also strebt 3 − 1/b gegen 3.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Es gilt ∫₁ᵇ 1/x² dx = 1 − 1/b. Wie groß ist der Teil des Werts 1 des uneigentlichen Integrals, der bei b = 50 noch fehlt?

✓ Antwort: 0.02

Bis b = 50 sind 1 − 1/50 = 0,98 der Fläche erreicht. Es fehlen 1 − 0,98 = 0,02 (das ist 1/50).

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Bei welchem b hat ∫₁ᵇ 1/x dx = ln b den Wert 5? (auf 1 Dezimale)

✓ Antwort: 148.4

ln b = 5 ergibt b = e⁵ ≈ 148,4. Das Integral wächst zwar ohne Grenze, aber sehr langsam.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Berechne ∫ von 0 bis ∞ über 3 · e^(−x) dx.

✓ Antwort: 3

F(x) = −3 · e^(−x). ∫₀ᵇ 3 · e^(−x) dx = 3 − 3 · e^(−b) → 3. Der Faktor 3 bleibt vor dem Grenzwert stehen.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Untersuche die uneigentlichen Integrale ∫ von 1 bis ∞ über x^(−1/2) dx und ∫ von 1 bis ∞ über x^(−3/2) dx. Berechne jeweils zuerst das Integral von 1 bis b und lass dann b → ∞ gehen. Gib an, welches konvergiert, und bestimme dessen Wert. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: ∫₁ᵇ x^(−1/2) dx = [2√x] von 1 bis b = 2√b − 2. Für b → ∞ geht das gegen ∞: Das Integral divergiert. ∫₁ᵇ x^(−3/2) dx = [−2/√x] von 1 bis b = −2/√b + 2. Für b → ∞ geht 2/√b gegen 0, also konvergiert das Integral gegen 2.

Beide Integranden gehen gegen 0, aber nur x^(−3/2) fällt schnell genug: 2 − 2/√b → 2, während 2√b − 2 unbegrenzt wächst.

Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Ab welcher ganzen Zahl b ist e^(−b) kleiner als 0,001? Gib die kleinste solche Zahl an.

✓ Antwort: 7

e^(−6) ≈ 0,0025 ist noch zu groß, e^(−7) ≈ 0,0009 ist kleiner als 0,001. Die kleinste solche Zahl ist 7.