Das gleichschenklige Dreieck
Im gleichschenkligen Dreieck KLM sind die gleich langen Seiten markiert. Welche Ecke ist die Spitze?
Erklärung: Die Spitze liegt der Basis gegenüber, dort treffen sich die beiden Schenkel. Die markierten Seiten KL und KM sind die Schenkel; sie treffen sich in K. Die Basis LM liegt K gegenüber.
Tippe auf die Basis des gleichschenkligen Dreiecks PQR.
Erklärung: Die Schenkel sind die beiden gleich langen, markierten Seiten PQ und QR. Die dritte Seite RP ist die Basis.
Die beiden gleich langen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks heißen ___.
Erklärung: Die gleich langen Seiten sind die Schenkel, die dritte Seite ist die Basis.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat Schenkel von 7 cm und eine Basis von 4 cm. Wie groß ist sein Umfang (in cm)?
Erklärung: Es gibt zwei Schenkel: 7 + 7 + 4 = 18 cm.
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit CA = CB. Welche Gerade ist seine Symmetrieachse?
Erklärung: Die Symmetrieachse geht durch die Spitze C und die Mitte der Basis AB. Die Gerade durch A und die Mitte von BC bildet das Dreieck nicht auf sich ab; die Gerade AB ist die Basis selbst.
Im gleichschenkligen Dreieck ABC (CA = CB) trifft die Symmetrieachse die Basis AB im Punkt M. Der Winkel bei M beträgt 90°.
Erklärung: Die Achse steht senkrecht auf der Basis und halbiert sie. Beim Spiegeln an der Achse wird A auf B abgebildet, deshalb steht AB senkrecht zur Achse.
Im gleichschenkligen Dreieck ABC (CA = CB) ist die Basis AB = 8 cm lang. Die Symmetrieachse trifft AB im Punkt M. Wie lang ist AM (in cm)?
Erklärung: Die Achse halbiert die Basis: AM = 8 cm : 2 = 4 cm.
Der Spitzenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 50°. Die Symmetrieachse halbiert ihn. Wie groß ist jeder der beiden Teile (in °)?
Erklärung: Die Symmetrieachse ist zugleich Winkelhalbierende der Spitze: 50° : 2 = 25°.
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit CA = CB. Welcher Winkel ist genauso groß wie α (der Winkel bei A)?
Erklärung: α und der Winkel bei B sind die Basiswinkel und daher gleich groß. Der Winkel bei C ist der Spitzenwinkel; er ist im Allgemeinen anders groß (gleich nur im gleichseitigen Dreieck). Die Hälfte des Winkels bei C ist der Winkel zwischen Achse und Schenkel, kein Basiswinkel.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Spitze C und die Basiswinkel α = β = 70°. Der Winkel an der Spitze beträgt ebenfalls 70°.
Erklärung: Die Winkelsumme ist 180°: γ = 180° − 70° − 70° = 40°. Die Basiswinkel sind gleich, der Spitzenwinkel ist es hier nicht.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Spitze C und den Spitzenwinkel γ = 40°. Wie groß ist der Basiswinkel α (in °)?
Erklärung: Die beiden Basiswinkel sind gleich, zusammen mit γ ergeben sie 180°: α = (180° − 40°) : 2 = 70°.
Ein Dachgiebel hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die beiden Basiswinkel messen je 32°. Wie groß ist der Winkel an der Spitze (in °)?
Erklärung: Beide Basiswinkel sind 32°, zusammen 64°. Der Spitzenwinkel ist der Rest zu 180°: 180° − 64° = 116°.
Beweise: Im gleichschenkligen Dreieck ABC mit CA = CB sind die Basiswinkel gleich groß, also α = β. Skizziere das Dreieck, zeichne die Winkelhalbierende des Winkels bei C (sie trifft AB in M) und begründe mit einem Kongruenzsatz.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Winkelhalbierende zerlegt das Dreieck in AMC und BMC. Sie stimmen in CA = CB, im Winkel bei C und in CM überein: SWS. Also sind entsprechende Winkel α und β gleich.
Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat die Basis AB = 6 cm und Schenkel von 5 cm Länge. Mit welchem Radius zeichnest du die Kreise um A und um B?
Erklärung: Die Spitze C ist von A und von B je einen Schenkel weit entfernt, also 5 cm. Beide Kreise brauchen den Radius 5 cm; 6 cm wäre die Basis, 3 cm die halbe Basis.
Die Kreise um A und B haben den Radius 5 cm (die Schenkellänge). Tippe auf die Spitze C des gleichschenkligen Dreiecks ABC.
Erklärung: C muss von A und von B genau 5 cm entfernt sein, also auf beiden Kreisen liegen: im Schnittpunkt Q. P liegt nur auf dem Kreis um A, R nur auf dem Kreis um B.
Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist 10 cm lang. Die Kreise um ihre Endpunkte haben die Schenkellänge als Radius. Die Schenkel müssen länger sein als wie viele cm, damit sich die Kreise schneiden?
Erklärung: Die Kreise schneiden sich nur, wenn 2 · Schenkel > Basis gilt: 2 · s > 10, also s > 5. Bei s = 5 cm berühren sie sich nur in der Mitte der Basis, C läge auf AB.
Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis AB = 8 cm und Schenkeln von 4 cm. Wie viele Dreiecke entstehen?
Erklärung: Beide Kreise haben den Radius 4 cm und die Mittelpunkte sind 8 cm entfernt: Sie berühren sich nur in der Mitte von AB. C läge auf AB, es entsteht kein Dreieck. (4 + 4 ist nicht größer als 8.)
Gleichschenkliges Dreieck: Der Winkel an der Spitze misst 40°. Wie viel Grad misst ein Basiswinkel?
Das ist die Summe beider Basiswinkel. Teile noch durch 2.
Die Basiswinkel sind gleich groß: (180° − 40°) : 2 = 70°.
Gleichschenkliges Dreieck: Der Winkel an der Spitze misst 80°. Wie viel Grad misst ein Basiswinkel?
Das ist die Summe beider Basiswinkel. Teile noch durch 2.
Die Basiswinkel sind gleich groß: (180° − 80°) : 2 = 50°.
Gleichschenkliges Dreieck: Ein Basiswinkel misst 35°. Wie viel Grad misst der Winkel an der Spitze?
Es gibt zwei Basiswinkel: 180° − 35° − 35°.
180° − 2 · 35° = 110°.
Gleichschenkliges Dreieck: Ein Basiswinkel misst 65°. Wie viel Grad misst der Winkel an der Spitze?
Es gibt zwei Basiswinkel: 180° − 65° − 65°.
180° − 2 · 65° = 50°.