Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW
Dreieck ABC hat die Seiten 5 cm, 6 cm und 7 cm. Welches Dreieck ist nach SSS kongruent zu ABC?
Erklärung: SSS verlangt drei gleiche Seitenlängen; die Reihenfolge spielt keine Rolle. 5, 6, 8 stimmt nur in zwei Seiten überein, und 10, 12, 14 sind die doppelten Längen: gleiche Form, aber nicht kongruent.
Aus den drei Längen 4 cm, 5 cm und 8 cm lässt sich ein Dreieck konstruieren.
Erklärung: Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste: 4 + 5 = 9 > 8. Die Kreise um die Endpunkte der 8-cm-Strecke (Radius 4 cm und 5 cm) schneiden sich also. Bei 2 cm, 3 cm und 6 cm wäre 2 + 3 = 5 < 6, dort gäbe es kein Dreieck.
Nach SSS stimmen zwei Dreiecke in allen drei ___ überein.
Erklärung: SSS heißt: Seite, Seite, Seite. Die drei Seitenlängen legen das Dreieck fest.
Zwei Seiten eines Dreiecks sind 4 cm und 9 cm lang. Wie viele ganzzahlige Längen (in cm) kann die dritte Seite haben?
Erklärung: Die dritte Seite c muss kürzer sein als 4 + 9 = 13 und länger als 9 − 4 = 5 (sonst ist eine Seite länger als die beiden anderen zusammen). Möglich sind 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: 7 Werte.
Von einem Dreieck ABC sind AB = 4 cm und AC = 6 cm bekannt, dazu ein Winkel von 50°. Bei welchem Winkel liegt SWS vor?
Erklärung: Bei SWS liegt der Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten. AB und AC treffen sich in A, also muss der Winkel bei A (α) gegeben sein. Bei B oder C liegt der Winkel nicht zwischen den Seiten.
Dreieck 1 hat a = 6 cm, b = 8 cm und γ = 40°. Dreieck 2 hat a = 6 cm, b = 8 cm und β = 40°. Nach SWS sind die beiden Dreiecke kongruent.
Erklärung: In Dreieck 1 liegt γ zwischen a und b, in Dreieck 2 liegt β nicht zwischen a und b. SWS gilt nur mit dem eingeschlossenen Winkel; die Dreiecke haben verschiedene dritte Seiten (etwa 5,1 cm und 11,6 cm).
Nach SWS stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem von ihnen ___ Winkel überein (Wortanfang: ein…).
Erklärung: SWS: Seite, Winkel, Seite. Der Winkel liegt zwischen den beiden Seiten, er ist von ihnen eingeschlossen.
Zwei Dreiecke stimmen in a = 6 cm, b = 8 cm und γ = 35° überein (γ liegt zwischen a und b). Im ersten Dreieck wurde c = 4,6 cm gemessen. Wie lang ist c im zweiten Dreieck (in cm)?
Erklärung: Nach SWS sind die Dreiecke kongruent. Entsprechende Seiten sind gleich lang, also ist c auch im zweiten Dreieck 4,6 cm.
Konstruiere das Dreieck ABC mit a = 5 cm, b = 4 cm und γ = 60°. Beschreibe jeden Konstruktionsschritt und begründe mit einem Kongruenzsatz, warum jede Person, die nach deiner Beschreibung zeichnet, ein kongruentes Dreieck erhält.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel legen das Dreieck fest (SWS). Alle nach dieser Beschreibung gezeichneten Dreiecke sind kongruent.
Von einem Dreieck sind AB = 6 cm und α = 40° bekannt. Welche weitere Angabe passt dazu, damit WSW vorliegt?
Erklärung: WSW braucht eine Seite und die beiden Winkel an ihren Enden: AB und die Winkel α (bei A) und β (bei B). AC = 5 cm würde zu SWS gehören, BC = 5 cm liegt dem Winkel α gegenüber.
Zwei Dreiecke stimmen in c = 7 cm, α = 50° und β = 60° überein. Sie sind kongruent.
Erklärung: c ist die Seite zwischen den Ecken A und B, α und β sind die Winkel an ihren Enden: WSW. Also sind die Dreiecke kongruent.
Tippe auf die Seite, die zu den beiden markierten Winkeln für WSW gehört.
Erklärung: Bei WSW liegt die Seite zwischen den beiden Winkeln, sie verbindet ihre Scheitel. Die markierten Winkel liegen bei K und M, also ist KM die gesuchte Seite.
Von einem Dreieck sind α = 50° und β = 60° bekannt. Wie groß ist γ (in °)?
Erklärung: Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°: γ = 180° − 50° − 60° = 70°. Deshalb genügt zu einer Seite auch jedes Paar von zwei Winkeln.
Zwei Dreiecke stimmen in c = 7 cm, α = 50° und β = 60° überein. Im ersten Dreieck wurde a = 5,7 cm gemessen. Wie lang ist a im zweiten Dreieck (in cm)?
Erklärung: Nach WSW sind die Dreiecke kongruent, entsprechende Seiten sind gleich lang: a = 5,7 cm (genauer 5,71 cm).
Ein Dreieck ABC hat c = 5 cm, α = 50°, β = 60° und γ = 70°. Ein Dreieck DEF stimmt mit ABC in den folgenden Stücken überein. In welchen Stücken muss es übereinstimmen, damit DEF sicher kongruent zu ABC ist?
Erklärung: Seite und beide anliegenden Winkel sind WSW. Stimmen nur die Winkel überein (auch alle drei), ist DEF nur ähnlich: gleiche Form, aber vielleicht eine andere Größe.
Beide Dreiecke haben die Winkel 40°, 60° und 80°. Sie sind kongruent.
Erklärung: Drei gleiche Winkel legen nur die Form fest. Das rechte Dreieck ist eine Vergrößerung des linken (Faktor 1,6): gleiche Winkel, aber größere Seiten. WWW ist kein Kongruenzsatz.
Drei gleiche Winkel legen nur die ___ des Dreiecks fest, nicht seine Größe.
Erklärung: Mit gleichen Winkeln kann man ein Dreieck beliebig vergrößern oder verkleinern; die Form bleibt.
Zwei Dreiecke haben dieselben Winkel. Das erste hat die Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm, beim zweiten ist die längste Seite 10 cm lang. Mit welchem Faktor ist das zweite Dreieck gegenüber dem ersten vergrößert?
Erklärung: Die längsten Seiten entsprechen sich: 10 cm : 5 cm = 2. Das zweite Dreieck hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm; es ist nicht kongruent zum ersten.
Zwei Dreiecke haben beide die Seiten 4 cm, 5 cm und 6 cm. Sind sie kongruent?
Ja: SSS.
Zwei Dreiecke haben beide die Seiten 3 cm, 7 cm und 8 cm. Sind sie kongruent?
Ja: SSS.
Zwei Dreiecke haben beide die Winkel 40°, 60° und 80°. Sind sie sicher kongruent?
Nein: WWW legt nur die Form fest. Eins kann größer sein als das andere.
Zwei Dreiecke haben beide die Winkel 30°, 60° und 90°. Sind sie sicher kongruent?
Nein: WWW legt nur die Form fest. Eins kann größer sein als das andere.
Welche Angaben legen ein Dreieck eindeutig fest?
SWS: Der Winkel α liegt zwischen b und c. Drei Winkel legen nur die Form fest, und 3 + 4 < 8 gibt gar kein Dreieck.
Welche Angaben legen ein Dreieck eindeutig fest?
SWS: Der Winkel γ liegt zwischen a und b. Drei Winkel legen nur die Form fest, und 2 + 3 < 9 gibt gar kein Dreieck.
Welcher Kongruenzsatz passt zu c = 6 cm, α = 50°, β = 70°?
Die Seite c liegt zwischen den Winkeln α und β: WSW.
Welcher Kongruenzsatz passt zu a = 5 cm, β = 40°, γ = 80°?
Die Seite a liegt zwischen den Winkeln β und γ: WSW.
Zwei Dreiecke stimmen in einer Seite und den beiden Winkeln an dieser Seite überein. Sind sie kongruent?
Ja: Das ist WSW.
Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen überein. Sind sie kongruent?
Ja: Das ist SWS.