Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW

Congruence criteria SSS, SAS, ASA

Mathematik Klasse 7 28 Aufgaben
GeometrieKongruenzDreieckeKongruenzsätze

Drei passende Stücke legen ein Dreieck fest: drei Seiten (SSS), zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS), eine Seite und die beiden anliegenden Winkel (WSW). Die Station zeigt an Zirkelkonstruktionen, warum jedes Tripel genau ein Dreieck liefert, wann drei Längen kein Dreieck ergeben (Dreiecksungleichung) und warum drei Winkel (WWW) nur die Form festlegen. Sie räumt aus, dass jede Kombination aus drei Stücken genügt oder dass der Winkel beliebig liegen darf. Bereitet SsW, den Beweis des Basiswinkelsatzes mit SWS und die Konstruktionen des Folgekurses vor.

SSS: drei Seiten

Um zu wissen, ob zwei Dreiecke kongruent sind, muss man nicht alles vergleichen: Drei passende Stücke genügen. Stimmen zwei Dreiecke in allen drei Seiten überein, sind sie kongruent. Das ist der Kongruenzsatz SSS. Ein Kongruenzsatz nennt drei Stücke, aus denen alle übrigen folgen. Im Bild sind und fest, du stellst a ein: C liegt dort, wo sich die Kreise um A und B schneiden. Nicht jedes Zahlentripel ergibt ein Dreieck: Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste (Dreiecksungleichung), sonst berühren oder verfehlen sich die Kreise.

Verkleinere a Schritt für Schritt. Bei welchem a verschwindet das Dreieck, und was zeigt der Chip a + b dann?

SWS: zwei Seiten und der Winkel dazwischen

Kennt man zwei Seiten und den Winkel, den sie einschließen, ist das Dreieck festgelegt: SWS. Im Bild sind und fest, du stellst den Winkel γ zwischen ihnen ein. Zu jedem γ gibt es genau ein Dreieck; die Seite c und die Winkel α und β folgen daraus. Wichtig ist die Lage: Der Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen; ein Winkel an einer anderen Ecke sagt etwas anderes aus.

Verändere γ. Wie verändert sich die dritte Seite c, wenn γ größer wird?

WSW und WWW

Kennt man eine Seite und die beiden Winkel an ihren Enden, ist das Dreieck festgelegt: WSW. Der dritte Winkel folgt aus der Winkelsumme 180°; deshalb genügt auch eine Seite mit zwei beliebigen Winkeln. Drei Winkel allein (WWW) reichen dagegen nicht: Sie legen nur die Form fest, nicht die Größe. Im Bild ändert c allein nur die Größe; alle Winkel bleiben, das Dreieck ist nicht mehr kongruent.

Ändere nur c. Welche Chips bleiben gleich, welche wachsen?

Voraussetzungen (2)

Kongruente Figuren
Klasse 7
›
Winkel messen und zeichnen
Klasse 5
›

Ermöglicht (2)

Das gleichschenklige Dreieck
Klasse 7
›
SsW und die größere Seite
Klasse 7
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Dreieck ABC hat die Seiten 5 cm, 6 cm und 7 cm. Welches Dreieck ist nach SSS kongruent zu ABC?

  • ● ein Dreieck mit den Seiten 7 cm, 5 cm und 6 cm
  • ○ ein Dreieck mit den Seiten 5 cm, 6 cm und 8 cm
  • ○ ein Dreieck mit den Seiten 10 cm, 12 cm und 14 cm
SSS verlangt drei gleiche Seitenlängen; die Reihenfolge spielt keine Rolle. 5, 6, 8 stimmt nur in zwei Seiten überein, und 10, 12, 14 sind die doppelten Längen: gleiche Form, aber nicht kongruent.
Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Aus den drei Längen 4 cm, 5 cm und 8 cm lässt sich ein Dreieck konstruieren.

✓ Wahr
Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste: 4 + 5 = 9 > 8. Die Kreise um die Endpunkte der 8-cm-Strecke (Radius 4 cm und 5 cm) schneiden sich also. Bei 2 cm, 3 cm und 6 cm wäre 2 + 3 = 5 < 6, dort gäbe es kein Dreieck.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Von einem Dreieck ABC sind AB = 4 cm und AC = 6 cm bekannt, dazu ein Winkel von 50°. Bei welchem Winkel liegt SWS vor?

  • ● α = 50° bei A
  • ○ β = 50° bei B
  • ○ γ = 50° bei C
Bei SWS liegt der Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten. AB und AC treffen sich in A, also muss der Winkel bei A (α) gegeben sein. Bei B oder C liegt der Winkel nicht zwischen den Seiten.
Wahr / Falsch #4 25s ▶ Testen

Dreieck 1 hat a = 6 cm, b = 8 cm und γ = 40°. Dreieck 2 hat a = 6 cm, b = 8 cm und β = 40°. Nach SWS sind die beiden Dreiecke kongruent.

✓ Falsch
In Dreieck 1 liegt γ zwischen a und b, in Dreieck 2 liegt β nicht zwischen a und b. SWS gilt nur mit dem eingeschlossenen Winkel; die Dreiecke haben verschiedene dritte Seiten (etwa 5,1 cm und 11,6 cm).
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Von einem Dreieck sind AB = 6 cm und α = 40° bekannt. Welche weitere Angabe passt dazu, damit WSW vorliegt?

  • ● β = 65°
  • ○ AC = 5 cm
  • ○ BC = 5 cm
WSW braucht eine Seite und die beiden Winkel an ihren Enden: AB und die Winkel α (bei A) und β (bei B). AC = 5 cm würde zu SWS gehören, BC = 5 cm liegt dem Winkel α gegenüber.
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Zwei Dreiecke stimmen in c = 7 cm, α = 50° und β = 60° überein. Sie sind kongruent.

✓ Wahr
c ist die Seite zwischen den Ecken A und B, α und β sind die Winkel an ihren Enden: WSW. Also sind die Dreiecke kongruent.
Im Bild tippen #7 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die zu den beiden markierten Winkeln für WSW gehört.

✓ Antwort: KM
Bei WSW liegt die Seite zwischen den beiden Winkeln, sie verbindet ihre Scheitel. Die markierten Winkel liegen bei K und M, also ist KM die gesuchte Seite.
Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Ein Dreieck ABC hat c = 5 cm, α = 50°, β = 60° und γ = 70°. Ein Dreieck DEF stimmt mit ABC in den folgenden Stücken überein. In welchen Stücken muss es übereinstimmen, damit DEF sicher kongruent zu ABC ist?

  • ● in der Seite c = 5 cm und den Winkeln α = 50° und β = 60°
  • ○ in den Winkeln α = 50°, β = 60° und γ = 70°
  • ○ in den Winkeln α = 50° und β = 60°
Seite und beide anliegenden Winkel sind WSW. Stimmen nur die Winkel überein (auch alle drei), ist DEF nur ähnlich: gleiche Form, aber vielleicht eine andere Größe.
Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

Beide Dreiecke haben die Winkel 40°, 60° und 80°. Sie sind kongruent.

✓ Falsch
Drei gleiche Winkel legen nur die Form fest. Das rechte Dreieck ist eine Vergrößerung des linken (Faktor 1,6): gleiche Winkel, aber größere Seiten. WWW ist kein Kongruenzsatz.
Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Zwei Dreiecke haben beide die Seiten 4 cm, 5 cm und 6 cm. Sind sie kongruent?

✓ Ja
Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Zwei Dreiecke haben beide die Seiten 3 cm, 7 cm und 8 cm. Sind sie kongruent?

✓ Ja
Wahr / Falsch #12 25s ▶ Testen

Zwei Dreiecke haben beide die Winkel 40°, 60° und 80°. Sind sie sicher kongruent?

✓ Nein
Wahr / Falsch #13 25s ▶ Testen

Zwei Dreiecke haben beide die Winkel 30°, 60° und 90°. Sind sie sicher kongruent?

✓ Nein
Multiple Choice #14 25s ▶ Testen

Welche Angaben legen ein Dreieck eindeutig fest?

  • ● b = 5 cm, α = 40°, c = 7 cm
  • ○ α = 40°, β = 60°, γ = 80°
  • ○ a = 3 cm, b = 4 cm, c = 8 cm
Multiple Choice #15 25s ▶ Testen

Welche Angaben legen ein Dreieck eindeutig fest?

  • ○ α = 50°, β = 50°, γ = 80°
  • ○ a = 2 cm, b = 3 cm, c = 9 cm
  • ● a = 6 cm, γ = 50°, b = 4 cm
Multiple Choice #16 25s ▶ Testen

Welcher Kongruenzsatz passt zu c = 6 cm, α = 50°, β = 70°?

  • ● WSW
  • ○ SWS
  • ○ SSS
Multiple Choice #17 25s ▶ Testen

Welcher Kongruenzsatz passt zu a = 5 cm, β = 40°, γ = 80°?

  • ○ SsW
  • ● WSW
  • ○ SWS
Wahr / Falsch #18 25s ▶ Testen

Zwei Dreiecke stimmen in einer Seite und den beiden Winkeln an dieser Seite überein. Sind sie kongruent?

✓ Ja
Wahr / Falsch #19 25s ▶ Testen

Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen überein. Sind sie kongruent?

✓ Ja
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Nach SSS stimmen zwei Dreiecke in allen drei ___ überein.

✓ Antwort: Seiten
SSS heißt: Seite, Seite, Seite. Die drei Seitenlängen legen das Dreieck fest.
Lückentext #2 25s ▶ Testen

Nach SWS stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem von ihnen ___ Winkel überein (Wortanfang: ein…).

✓ Antwort: eingeschlossenen
SWS: Seite, Winkel, Seite. Der Winkel liegt zwischen den beiden Seiten, er ist von ihnen eingeschlossen.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Von einem Dreieck sind α = 50° und β = 60° bekannt. Wie groß ist γ (in °)?

✓ Antwort: 70
Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°: γ = 180° − 50° − 60° = 70°. Deshalb genügt zu einer Seite auch jedes Paar von zwei Winkeln.
Lückentext #4 20s ▶ Testen

Drei gleiche Winkel legen nur die ___ des Dreiecks fest, nicht seine Größe.

✓ Antwort: Form
Mit gleichen Winkeln kann man ein Dreieck beliebig vergrößern oder verkleinern; die Form bleibt.
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Zwei Seiten eines Dreiecks sind 4 cm und 9 cm lang. Wie viele ganzzahlige Längen (in cm) kann die dritte Seite haben?

✓ Antwort: 7
Die dritte Seite c muss kürzer sein als 4 + 9 = 13 und länger als 9 − 4 = 5 (sonst ist eine Seite länger als die beiden anderen zusammen). Möglich sind 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: 7 Werte.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Zwei Dreiecke stimmen in a = 6 cm, b = 8 cm und γ = 35° überein (γ liegt zwischen a und b). Im ersten Dreieck wurde c = 4,6 cm gemessen. Wie lang ist c im zweiten Dreieck (in cm)?

✓ Antwort: 4.6
Nach SWS sind die Dreiecke kongruent. Entsprechende Seiten sind gleich lang, also ist c auch im zweiten Dreieck 4,6 cm.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Konstruiere das Dreieck ABC mit a = 5 cm, b = 4 cm und γ = 60°. Beschreibe jeden Konstruktionsschritt und begründe mit einem Kongruenzsatz, warum jede Person, die nach deiner Beschreibung zeichnet, ein kongruentes Dreieck erhält. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit C, a = 5 cm und b = 4 cm. Schritte: 1. Strecke CB = a = 5 cm zeichnen. 2. In C den Winkel γ = 60° antragen. 3. Auf dem freien Schenkel von C aus b = 4 cm abtragen, das gibt A. 4. A und B verbinden. Die dritte Seite c ist etwa 4,6 cm. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen bei jeder solchen Zeichnung überein, nach SWS sind alle Dreiecke kongruent.
Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel legen das Dreieck fest (SWS). Alle nach dieser Beschreibung gezeichneten Dreiecke sind kongruent.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Zwei Dreiecke stimmen in c = 7 cm, α = 50° und β = 60° überein. Im ersten Dreieck wurde a = 5,7 cm gemessen. Wie lang ist a im zweiten Dreieck (in cm)?

✓ Antwort: 5.7
Nach WSW sind die Dreiecke kongruent, entsprechende Seiten sind gleich lang: a = 5,7 cm (genauer 5,71 cm).
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Zwei Dreiecke haben dieselben Winkel. Das erste hat die Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm, beim zweiten ist die längste Seite 10 cm lang. Mit welchem Faktor ist das zweite Dreieck gegenüber dem ersten vergrößert?

✓ Antwort: 2
Die längsten Seiten entsprechen sich: 10 cm : 5 cm = 2. Das zweite Dreieck hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm; es ist nicht kongruent zum ersten.