SsW und die größere Seite
Gegeben: b = 7 cm, a = 5 cm und α = 40° (α liegt der Seite a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke ABC gibt es?
Erklärung: Der Abstand von C zum freien Schenkel ist h = 7 · sin 40° ≈ 4,5 cm. Weil h < a = 5 < b = 7 gilt, schneidet der Kreis um C mit Radius 5 cm den Schenkel zweimal: Es gibt zwei Dreiecke.
Mit b = 5 cm, a = 4 cm und α = 35° (α liegt der Seite a gegenüber) gibt es genau ein Dreieck.
Erklärung: Es ist h = 5 · sin 35° ≈ 2,87 cm und h < 4 < 5. Der Kreis um C mit Radius 4 cm schneidet den Schenkel zweimal, also gibt es zwei Dreiecke.
Der Kreis um C schneidet den freien Schenkel des Winkels zweimal. Wie viele verschiedene Dreiecke ABC gehören dann zu den Angaben?
Erklärung: Jeder Schnittpunkt liefert eine Ecke B und damit ein Dreieck. Zwei Schnittpunkte bedeuten zwei verschiedene Dreiecke.
Ein Tischler kennt b = 8 cm, a = 6 cm und α = 30° (α liegt der Seite a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke sind möglich?
Erklärung: Es ist h = 8 · sin 30° = 4 cm, und h < a = 6 < b = 8. Der Kreis um C mit Radius 6 cm schneidet den freien Schenkel zweimal: zwei Dreiecke.
Bei welchen Angaben legt SsW das Dreieck eindeutig fest? (α liegt immer der Seite a gegenüber.)
Erklärung: Nur im ersten Fall liegt α der größeren Seite gegenüber (a > b): Es gibt genau ein Dreieck. Bei a = 4 cm, b = 5 cm gibt es zwei Dreiecke (h ≈ 3,21 cm < 4 < 5), bei a = 3 cm keines (3 < h).
Von einem Dreieck sind b = 6 cm, a = 9 cm und α = 50° bekannt (α liegt der Seite a gegenüber). Diese Angaben legen das Dreieck eindeutig fest.
Erklärung: Der Winkel α liegt der größeren Seite a = 9 cm gegenüber (a > b = 6 cm). Dann liegt der zweite Schnittpunkt des Kreises hinter A und gehört nicht zum Schenkel: Es gibt genau ein Dreieck (SsW).
Bei SsW liegt der Winkel der größeren Seite ___.
Erklärung: SsW: zwei Seiten und der Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt. Nur dann ist das Dreieck eindeutig.
Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es zu a = 7 cm, b = 5 cm und α = 60° (α liegt der Seite a gegenüber)?
Erklärung: Es ist a = 7 cm > b = 5 cm: Der Winkel liegt der größeren Seite gegenüber. Nach SsW gibt es genau ein Dreieck.
Der Punkt C hat vom freien Schenkel den Abstand h = 2 cm. Für welche Länge a gibt es genau ein rechtwinkliges Dreieck?
Erklärung: Bei a = h berührt der Kreis um C den Schenkel im Fußpunkt des Lots: ein rechtwinkliges Dreieck. Bei a = 1 cm erreicht er den Schenkel nicht (kein Dreieck), bei a = 3 cm schneidet er zweimal (zwei Dreiecke, falls a < b).
Der Abstand von C zum freien Schenkel ist h = 3 cm, und es ist a = 2,5 cm. Dann gibt es kein Dreieck.
Erklärung: Der Kreis um C mit Radius a = 2,5 cm ist kleiner als der Abstand h = 3 cm zum Schenkel und erreicht ihn nicht. Es gibt kein Dreieck.
Es ist h = 2 cm und b = 4 cm. Für h < a < b gibt es zwei Dreiecke. Von welcher Länge a (in cm) an gibt es wieder nur eins?
Erklärung: Sobald a mindestens so groß ist wie b, liegt der zweite Schnittpunkt hinter A und zählt nicht: ab a = b = 4 cm gibt es nur noch ein Dreieck.
Es ist b = 6 cm und α = 30°, also ist h = 3 cm. Wie viele Dreiecke gibt es für a = 2 cm (α liegt der Seite a gegenüber)?
Erklärung: Weil a = 2 cm kleiner ist als h = 3 cm, erreicht der Kreis um C den freien Schenkel nicht. Es gibt kein Dreieck.
Von einem Dreieck ABC sind b = 6 cm, α = 30° und a = 4 cm bekannt (α liegt der Seite a gegenüber). Konstruiere alle möglichen Dreiecke. Beschreibe die Schritte, bestimme den Abstand h von C zum freien Schenkel und begründe damit die Anzahl der Dreiecke.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Kreis um C mit dem Radius a schneidet den freien Schenkel, weil h = 3 cm < a = 4 cm < b = 6 cm gilt, zweimal: Es gibt zwei Dreiecke (c ≈ 7,8 cm und c ≈ 2,6 cm).
Gegeben sind a = 6 cm, b = 4 cm und α = 35°. Wo liegt der Winkel α?
Erklärung: Der Winkel α liegt bei der Ecke A. Die Seite a liegt der Ecke A gegenüber, also liegt α der Seite a gegenüber. Zwischen den Seiten a und b liegt der Winkel γ (bei C).
Tippe auf die Seite, der der markierte Winkel gegenüberliegt.
Erklärung: Der markierte Winkel liegt bei A. Der Ecke A gegenüber liegt die Seite BC. AB und CA sind die Seiten, die den Winkel einschließen.
Die Angaben a = 5 cm, b = 7 cm und α = 40° passen zu SWS.
Erklärung: α liegt bei A, zwischen den Seiten b = CA und c = AB, nicht zwischen a und b. Der Winkel liegt der Seite a gegenüber; SWS liegt nicht vor (zwischen a und b läge γ).
Bei den Angaben b, c und α liegt der Winkel α ___ den Seiten b und c.
Erklärung: α liegt bei A, dort treffen sich b und c. Der Winkel liegt zwischen den beiden Seiten; das ist der Fall SWS.
Zwei Dreiecke stimmen in b = 7 cm, c = 5 cm und α = 40° überein (α liegt zwischen b und c). Im ersten Dreieck wurde a = 4,5 cm gemessen. Wie lang ist a im zweiten Dreieck (in cm)?
Erklärung: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein (SWS), die Dreiecke sind kongruent. Also ist a auch im zweiten Dreieck 4,5 cm (genauer 4,51 cm).
Gegeben sind a = 5 cm, b = 4 cm und α = 50° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?
a = 5 cm ist die größere Seite und liegt α gegenüber (SsW): genau ein Dreieck.
Gegeben sind a = 6 cm, b = 4 cm und α = 35° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?
a = 6 cm ist die größere Seite und liegt α gegenüber (SsW): genau ein Dreieck.
Gegeben sind a = 4 cm, b = 5 cm und α = 40° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?
α liegt der kleineren Seite a = 4 cm gegenüber. Der Kreis um C mit 4 cm trifft den freien Schenkel zweimal: zwei Dreiecke.
Gegeben sind a = 4 cm, b = 6 cm und α = 35° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?
α liegt der kleineren Seite a = 4 cm gegenüber. Der Kreis um C mit 4 cm trifft den freien Schenkel zweimal: zwei Dreiecke.
b = 5 cm, c = 7 cm und α = 30°; α liegt zwischen b und c. Liegt das Dreieck damit fest?
Ja: Der Winkel liegt zwischen den Seiten, das ist SWS.
a = 4 cm, c = 6 cm und β = 70°; β liegt zwischen a und c. Liegt das Dreieck damit fest?
Ja: Der Winkel liegt zwischen den Seiten, das ist SWS.
Gegeben sind a = 3 cm, b = 5 cm und α = 70° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?
α liegt der kleineren Seite a = 3 cm gegenüber, und 3 cm reichen nicht bis zum freien Schenkel: kein Dreieck.
Gegeben sind a = 3 cm, b = 7 cm und α = 40° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?
α liegt der kleineren Seite a = 3 cm gegenüber, und 3 cm reichen nicht bis zum freien Schenkel: kein Dreieck.