SsW und die größere Seite

SsA and the larger side

Mathematik Klasse 7 26 Aufgaben
GeometrieKongruenzDreieckeKongruenzsätze

Zwei Seiten und ein Winkel, der einer der Seiten gegenüberliegt, legen das Dreieck nicht immer fest: Der Kreis um C schneidet den freien Schenkel keinmal, einmal oder zweimal. Die Station zeigt an einem Schieberegler, wie h (Abstand von C zum Schenkel), a und b die Zahl der Dreiecke bestimmen, und begründet so den Satz SsW: Liegt der Winkel der größeren Seite gegenüber, ist das Dreieck eindeutig. Sie räumt aus, die Skizze zeige das einzige Dreieck. Bereitet die Konstruktion von Dreiecken aus Bestimmungsstücken und später den mehrdeutigen Fall des Sinussatzes vor.

Zwei Dreiecke, dieselben Angaben

Zwei Seiten und ein Winkel reichen nicht immer. Gegeben sind , und . Anders als bei SWS liegt α nicht zwischen den Seiten, sondern der Seite a gegenüber. Zeichne α und trage b ab: C liegt fest. B liegt auf dem freien Schenkel von α, genau 3 cm von C entfernt. Der Kreis um C mit Radius a schneidet den Schenkel zweimal. Zu denselben Angaben passen zwei verschiedene Dreiecke, mit und . Eine Skizze zeigt meist nur eines von ihnen; das andere liegt „innen“, B₂ ist dichter an A. Deshalb prüft man die Zahl der Lösungen, bevor man zeichnet.

Schalte zwischen Lösung 1 und Lösung 2. Was bleibt gleich, was ändert sich?

Wann ist es eindeutig?

Die Zahl der Dreiecke hängt von a ab. Sei h der Abstand von C zum freien Schenkel, das Lot von C; hier ist . Ist a kleiner als h, erreicht der Kreis den Schenkel nicht: kein Dreieck. Bei berührt er ihn: ein rechtwinkliges Dreieck. Zwischen h und b schneidet er zweimal: zwei Dreiecke. Ab liegt der zweite Schnittpunkt hinter A und gehört nicht zum Schenkel: nur ein Dreieck. Deshalb gilt der Kongruenzsatz SsW: Zwei Seiten und der Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt (großes S für die größere Seite). Nur die größere Seite gegenüber dem Winkel macht das Dreieck eindeutig.

Ziehe a von 1 bis 5,5. Bei welchen Werten gibt es 0, 1 oder 2 Dreiecke?

Voraussetzungen (1)

Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW
Klasse 7
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Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Gegeben: b = 7 cm, a = 5 cm und α = 40° (α liegt der Seite a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke ABC gibt es?

  • ● zwei
  • ○ genau eins
  • ○ keins
Der Abstand von C zum freien Schenkel ist h = 7 · sin 40° ≈ 4,5 cm. Weil h < a = 5 < b = 7 gilt, schneidet der Kreis um C mit Radius 5 cm den Schenkel zweimal: Es gibt zwei Dreiecke.
Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Mit b = 5 cm, a = 4 cm und α = 35° (α liegt der Seite a gegenüber) gibt es genau ein Dreieck.

✓ Falsch
Es ist h = 5 · sin 35° ≈ 2,87 cm und h < 4 < 5. Der Kreis um C mit Radius 4 cm schneidet den Schenkel zweimal, also gibt es zwei Dreiecke.
Multiple Choice #3 35s ▶ Testen

Bei welchen Angaben legt SsW das Dreieck eindeutig fest? (α liegt immer der Seite a gegenüber.)

  • ● a = 5 cm, b = 4 cm, α = 40°
  • ○ a = 4 cm, b = 5 cm, α = 40°
  • ○ a = 3 cm, b = 5 cm, α = 40°
Nur im ersten Fall liegt α der größeren Seite gegenüber (a > b): Es gibt genau ein Dreieck. Bei a = 4 cm, b = 5 cm gibt es zwei Dreiecke (h ≈ 3,21 cm < 4 < 5), bei a = 3 cm keines (3 < h).
Wahr / Falsch #4 25s ▶ Testen

Von einem Dreieck sind b = 6 cm, a = 9 cm und α = 50° bekannt (α liegt der Seite a gegenüber). Diese Angaben legen das Dreieck eindeutig fest.

✓ Wahr
Der Winkel α liegt der größeren Seite a = 9 cm gegenüber (a > b = 6 cm). Dann liegt der zweite Schnittpunkt des Kreises hinter A und gehört nicht zum Schenkel: Es gibt genau ein Dreieck (SsW).
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Der Punkt C hat vom freien Schenkel den Abstand h = 2 cm. Für welche Länge a gibt es genau ein rechtwinkliges Dreieck?

  • ● 2 cm
  • ○ 1 cm
  • ○ 3 cm
Bei a = h berührt der Kreis um C den Schenkel im Fußpunkt des Lots: ein rechtwinkliges Dreieck. Bei a = 1 cm erreicht er den Schenkel nicht (kein Dreieck), bei a = 3 cm schneidet er zweimal (zwei Dreiecke, falls a < b).
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Der Abstand von C zum freien Schenkel ist h = 3 cm, und es ist a = 2,5 cm. Dann gibt es kein Dreieck.

✓ Wahr
Der Kreis um C mit Radius a = 2,5 cm ist kleiner als der Abstand h = 3 cm zum Schenkel und erreicht ihn nicht. Es gibt kein Dreieck.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Gegeben sind a = 6 cm, b = 4 cm und α = 35°. Wo liegt der Winkel α?

  • ● der Seite a gegenüber
  • ○ zwischen den Seiten a und b
  • ○ der Seite b gegenüber
Der Winkel α liegt bei der Ecke A. Die Seite a liegt der Ecke A gegenüber, also liegt α der Seite a gegenüber. Zwischen den Seiten a und b liegt der Winkel γ (bei C).
Im Bild tippen #8 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, der der markierte Winkel gegenüberliegt.

✓ Antwort: BC
Der markierte Winkel liegt bei A. Der Ecke A gegenüber liegt die Seite BC. AB und CA sind die Seiten, die den Winkel einschließen.
Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

Die Angaben a = 5 cm, b = 7 cm und α = 40° passen zu SWS.

✓ Falsch
α liegt bei A, zwischen den Seiten b = CA und c = AB, nicht zwischen a und b. Der Winkel liegt der Seite a gegenüber; SWS liegt nicht vor (zwischen a und b läge γ).
Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

b = 5 cm, c = 7 cm und α = 30°; α liegt zwischen b und c. Liegt das Dreieck damit fest?

✓ Ja
Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

a = 4 cm, c = 6 cm und β = 70°; β liegt zwischen a und c. Liegt das Dreieck damit fest?

✓ Ja
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Der Kreis um C schneidet den freien Schenkel des Winkels zweimal. Wie viele verschiedene Dreiecke ABC gehören dann zu den Angaben?

✓ Antwort: 2
Jeder Schnittpunkt liefert eine Ecke B und damit ein Dreieck. Zwei Schnittpunkte bedeuten zwei verschiedene Dreiecke.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Bei SsW liegt der Winkel der größeren Seite ___.

✓ Antwort: gegenüber
SsW: zwei Seiten und der Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt. Nur dann ist das Dreieck eindeutig.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Es ist h = 2 cm und b = 4 cm. Für h < a < b gibt es zwei Dreiecke. Von welcher Länge a (in cm) an gibt es wieder nur eins?

✓ Antwort: 4
Sobald a mindestens so groß ist wie b, liegt der zweite Schnittpunkt hinter A und zählt nicht: ab a = b = 4 cm gibt es nur noch ein Dreieck.
Lückentext #4 20s ▶ Testen

Bei den Angaben b, c und α liegt der Winkel α ___ den Seiten b und c.

✓ Antwort: zwischen
α liegt bei A, dort treffen sich b und c. Der Winkel liegt zwischen den beiden Seiten; das ist der Fall SWS.
Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Gegeben sind a = 5 cm, b = 4 cm und α = 50° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?

✓ Antwort: 1
Zahleneingabe #6 45s ▶ Testen

Gegeben sind a = 6 cm, b = 4 cm und α = 35° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?

✓ Antwort: 1
Zahleneingabe #7 45s ▶ Testen

Gegeben sind a = 4 cm, b = 5 cm und α = 40° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?

✓ Antwort: 2
Zahleneingabe #8 45s ▶ Testen

Gegeben sind a = 4 cm, b = 6 cm und α = 35° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?

✓ Antwort: 2
Zahleneingabe #9 45s ▶ Testen

Gegeben sind a = 3 cm, b = 5 cm und α = 70° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?

✓ Antwort: 0
Zahleneingabe #10 45s ▶ Testen

Gegeben sind a = 3 cm, b = 7 cm und α = 40° (α liegt a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?

✓ Antwort: 0
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Tischler kennt b = 8 cm, a = 6 cm und α = 30° (α liegt der Seite a gegenüber). Wie viele verschiedene Dreiecke sind möglich?

✓ Antwort: 2
Es ist h = 8 · sin 30° = 4 cm, und h < a = 6 < b = 8. Der Kreis um C mit Radius 6 cm schneidet den freien Schenkel zweimal: zwei Dreiecke.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es zu a = 7 cm, b = 5 cm und α = 60° (α liegt der Seite a gegenüber)?

✓ Antwort: 1
Es ist a = 7 cm > b = 5 cm: Der Winkel liegt der größeren Seite gegenüber. Nach SsW gibt es genau ein Dreieck.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es ist b = 6 cm und α = 30°, also ist h = 3 cm. Wie viele Dreiecke gibt es für a = 2 cm (α liegt der Seite a gegenüber)?

✓ Antwort: 0
Weil a = 2 cm kleiner ist als h = 3 cm, erreicht der Kreis um C den freien Schenkel nicht. Es gibt kein Dreieck.
KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Von einem Dreieck ABC sind b = 6 cm, α = 30° und a = 4 cm bekannt (α liegt der Seite a gegenüber). Konstruiere alle möglichen Dreiecke. Beschreibe die Schritte, bestimme den Abstand h von C zum freien Schenkel und begründe damit die Anzahl der Dreiecke. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: α = 30° bei A antragen, auf einem Schenkel b = 6 cm abtragen (C), das Lot von C auf den freien Schenkel fällen (Abstand h = 3 cm), Kreis um C mit Radius a = 4 cm zeichnen. Es gilt h = 3 cm < a = 4 cm < b = 6 cm, also schneidet der Kreis den Schenkel zweimal: zwei Dreiecke. Sie haben c₁ ≈ 7,8 cm und c₂ ≈ 2,6 cm.
Der Kreis um C mit dem Radius a schneidet den freien Schenkel, weil h = 3 cm < a = 4 cm < b = 6 cm gilt, zweimal: Es gibt zwei Dreiecke (c ≈ 7,8 cm und c ≈ 2,6 cm).
Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Zwei Dreiecke stimmen in b = 7 cm, c = 5 cm und α = 40° überein (α liegt zwischen b und c). Im ersten Dreieck wurde a = 4,5 cm gemessen. Wie lang ist a im zweiten Dreieck (in cm)?

✓ Antwort: 4.5
Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein (SWS), die Dreiecke sind kongruent. Also ist a auch im zweiten Dreieck 4,5 cm (genauer 4,51 cm).