Wenn — dann und Umkehrung
Satz: Wenn in einem Dreieck ein Winkel 90° beträgt, dann sind die beiden anderen Winkel zusammen 90°. Was ist die Voraussetzung?
Erklärung: Die Voraussetzung steht nach „wenn“: Ein Winkel beträgt 90°. Nach „dann“ steht die Behauptung: Die beiden anderen Winkel sind zusammen 90°. Die Winkelsumme 180° kommt im Satz nicht vor, sie wird zum Beweis benutzt.
Im Satz „Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, dann haben sie denselben Umfang“ ist „kongruent“ die Behauptung.
Erklärung: Die Behauptung steht nach „dann“: Die Dreiecke haben denselben Umfang. „Kongruent“ steht nach „wenn“ und ist die Voraussetzung.
Der Teil eines Satzes nach „wenn“ heißt die ___.
Erklärung: Nach „wenn“ steht, was gegeben ist: die Voraussetzung. Nach „dann“ steht die Behauptung.
Wie viele Angaben stehen in der Voraussetzung dieses Satzes: „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist und die Seite 6 cm hat, dann beträgt sein Umfang 18 cm“?
Erklärung: Zwei Angaben sind gegeben: Das Dreieck ist gleichseitig, und die Seite ist 6 cm lang. Die Behauptung ist der Umfang 18 cm (3 · 6 cm = 18 cm).
Satz: Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle Winkel 60°. Wie lautet der Kehrsatz?
Erklärung: Der Kehrsatz vertauscht Voraussetzung und Behauptung: Die Winkel sind 60° (Voraussetzung), das Dreieck ist gleichseitig (Behauptung). Die Verneinung „wenn nicht …, dann nicht …“ ist etwas anderes; der dritte Satz wiederholt nur die Voraussetzung mit anderen Worten.
Der Kehrsatz von „Wenn ein Tier ein Hund ist, dann hat es vier Beine“ lautet: „Wenn ein Tier kein Hund ist, dann hat es nicht vier Beine“.
Erklärung: Der Kehrsatz vertauscht Voraussetzung und Behauptung: „Wenn ein Tier vier Beine hat, dann ist es ein Hund“. Der Satz in der Frage ist die Verneinung („wenn nicht …, dann nicht …“) und damit etwas anderes.
Der Kehrsatz eines Satzes heißt auch seine ___.
Erklärung: Kehrsatz und Umkehrung sind zwei Namen für dasselbe: Voraussetzung und Behauptung vertauschen.
Der Kehrsatz zu „Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann hat es vier rechte Winkel“ lautet „Wenn ein Viereck vier rechte Winkel hat, dann ist es ein Rechteck“. Dieser Kehrsatz ist wahr.
Erklärung: Das Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Ein Viereck mit vier rechten Winkeln ist deshalb immer ein Rechteck: Hier stimmen Satz und Kehrsatz.
Satz: Wenn zwei Rechtecke kongruent sind, dann haben sie denselben Flächeninhalt. Welches Rechteckpaar ist ein Gegenbeispiel zur Umkehrung?
Erklärung: Die Umkehrung lautet: Wenn zwei Rechtecke denselben Flächeninhalt haben, sind sie kongruent. 2 · 9 = 18 und 3 · 6 = 18: gleicher Flächeninhalt, aber nicht kongruent. Das ist ein Gegenbeispiel. Das zweite Paar ist kongruent, das dritte hat verschiedene Flächen.
Das graue Rechteck ist 3 cm × 8 cm groß. Tippe auf das Rechteck, das mit dem grauen ein Gegenbeispiel zur Umkehrung bildet (gleicher Flächeninhalt, aber nicht kongruent).
Erklärung: Rechteck 3 ist 6 cm × 4 cm groß: Flächeninhalt 24 cm², wie beim grauen Rechteck (3 · 8 = 24), aber die Seiten sind anders. Rechteck 1 ist kongruent (8 × 3, gedreht), Rechteck 2 hat einen anderen Flächeninhalt (1,5 · 4 = 6).
Alle Quadrate haben vier gleich lange Seiten. Also ist jedes Viereck mit vier gleich langen Seiten ein Quadrat.
Erklärung: Die Umkehrung gilt nicht: Das abgebildete Viereck hat vier gleich lange Seiten, ist aber schief, also kein Quadrat. Eine Raute genügt als Gegenbeispiel.
Wie viele Gegenbeispiele braucht man mindestens, um eine Aussage zu widerlegen?
Erklärung: Schon ein einziges Gegenbeispiel zeigt, dass die Aussage nicht immer stimmt. Viele passende Beispiele dagegen beweisen eine Aussage nicht.
Aussage: „Wenn n durch 6 teilbar ist, dann ist n durch 3 teilbar.“ Ihre Umkehrung ist falsch. Nenne die kleinste positive Zahl n, die die Umkehrung widerlegt.
Erklärung: Die Umkehrung lautet: Wenn n durch 3 teilbar ist, dann ist n durch 6 teilbar. Für n = 3 ist die Voraussetzung erfüllt (3 ist durch 3 teilbar), die Behauptung nicht (3 ist nicht durch 6 teilbar). Für n = 1 und n = 2 ist schon die Voraussetzung nicht erfüllt.
Gegeben ist der Satz: „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann ist es gleichschenklig.“ Nenne Voraussetzung und Behauptung, bilde den Kehrsatz und untersuche, ob er wahr ist. Gib, falls er falsch ist, ein Gegenbeispiel mit Seitenlängen an und prüfe, dass es ein Dreieck gibt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Satz stimmt, sein Kehrsatz nicht: 5 cm, 5 cm, 8 cm ist gleichschenklig, aber nicht gleichseitig, und das Dreieck existiert (5 + 5 > 8).
Im Dreieck ABC gilt α = β = 52°. Was folgt daraus?
Erklärung: Der Kehrsatz des Basiswinkelsatzes sagt: Gleiche Winkel liegen gleich langen Seiten gegenüber. α liegt der Seite BC gegenüber, β der Seite CA, also ist BC = CA. AB liegt dem Winkel γ gegenüber, der hier 76° beträgt.
In einem Dreieck sind zwei Winkel je 65° groß. Dann sind die beiden Seiten, die diesen Winkeln gegenüberliegen, gleich lang.
Erklärung: Das ist die Umkehrung des Basiswinkelsatzes, und sie ist wahr: Gleich große Winkel liegen gleich langen Seiten gegenüber, das Dreieck ist gleichschenklig.
Im Dreieck ABC sind α = β = 65°. Wie groß ist γ (in °)?
Erklärung: Die Winkelsumme ist 180°: γ = 180° − 65° − 65° = 50°.
Im Dreieck ABC gilt α = β. Die Seite BC ist 7 cm lang, die Seite AB ist 5 cm lang. Wie groß ist der Umfang des Dreiecks (in cm)?
Erklärung: α liegt der Seite BC gegenüber, β der Seite CA. Gleiche Winkel liegen gleich langen Seiten gegenüber (Umkehrung des Basiswinkelsatzes), also ist CA = BC = 7 cm. Umfang: 7 + 7 + 5 = 19 cm.