Wenn — dann und Umkehrung
If — then and the converse
Viele Sätze haben die Form „Wenn Voraussetzung, dann Behauptung“. Die Station trennt beides sauber, bildet den Kehrsatz durch Vertauschen (nicht durch Verneinen) und zeigt an Quadrat und Raute sowie an kongruenten Rechtecken, dass die Umkehrung einer wahren Aussage falsch sein kann und ein Gegenbeispiel genügt; beim Basiswinkelsatz gilt sie dagegen und muss eigens begründet werden. Sie räumt aus, aus vielen passenden Beispielen folge die Wahrheit. Bereitet die Umkehrung des Thalessatzes, die Umkehrung des Satzes von Pythagoras und das Beweisen vor.
Wenn — dann
Viele Sätze haben die Form Wenn …, dann …. Der Teil nach „wenn“ ist die
Die Umkehrung kann falsch sein
Ein wahrer Satz hat nicht automatisch eine wahre Umkehrung. Wenn es regnet, ist die Straße nass stimmt; wenn die Straße nass ist, regnet es nicht
(vielleicht kam die Straßenreinigung). Auch in der Geometrie: Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, hat es vier gleich lange Seiten. Wahr. Die Umkehrung —
vier gleich lange Seiten, also Quadrat — ist falsch: Eine Raute mit
Wenn die Umkehrung gilt
Manchmal gilt die Umkehrung doch. Beim Basiswinkelsatz stimmt sie: Wenn zwei Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, dann sind die gegenüberliegenden
Seiten gleich lang. Im Bild ist
Voraussetzungen (1)
Satz: Wenn in einem Dreieck ein Winkel 90° beträgt, dann sind die beiden anderen Winkel zusammen 90°. Was ist die Voraussetzung?
Im Satz „Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, dann haben sie denselben Umfang“ ist „kongruent“ die Behauptung.
Satz: Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle Winkel 60°. Wie lautet der Kehrsatz?
Der Kehrsatz von „Wenn ein Tier ein Hund ist, dann hat es vier Beine“ lautet: „Wenn ein Tier kein Hund ist, dann hat es nicht vier Beine“.
Satz: Wenn zwei Rechtecke kongruent sind, dann haben sie denselben Flächeninhalt. Welches Rechteckpaar ist ein Gegenbeispiel zur Umkehrung?
Das graue Rechteck ist 3 cm × 8 cm groß. Tippe auf das Rechteck, das mit dem grauen ein Gegenbeispiel zur Umkehrung bildet (gleicher Flächeninhalt, aber nicht kongruent).
Alle Quadrate haben vier gleich lange Seiten. Also ist jedes Viereck mit vier gleich langen Seiten ein Quadrat.
Im Dreieck ABC gilt α = β = 52°. Was folgt daraus?
In einem Dreieck sind zwei Winkel je 65° groß. Dann sind die beiden Seiten, die diesen Winkeln gegenüberliegen, gleich lang.
Der Teil eines Satzes nach „wenn“ heißt die ___.
Der Kehrsatz eines Satzes heißt auch seine ___.
Wie viele Gegenbeispiele braucht man mindestens, um eine Aussage zu widerlegen?
Im Dreieck ABC sind α = β = 65°. Wie groß ist γ (in °)?
Wie viele Angaben stehen in der Voraussetzung dieses Satzes: „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist und die Seite 6 cm hat, dann beträgt sein Umfang 18 cm“?
Der Kehrsatz zu „Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann hat es vier rechte Winkel“ lautet „Wenn ein Viereck vier rechte Winkel hat, dann ist es ein Rechteck“. Dieser Kehrsatz ist wahr.
Aussage: „Wenn n durch 6 teilbar ist, dann ist n durch 3 teilbar.“ Ihre Umkehrung ist falsch. Nenne die kleinste positive Zahl n, die die Umkehrung widerlegt.
Gegeben ist der Satz: „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann ist es gleichschenklig.“ Nenne Voraussetzung und Behauptung, bilde den Kehrsatz und untersuche, ob er wahr ist. Gib, falls er falsch ist, ein Gegenbeispiel mit Seitenlängen an und prüfe, dass es ein Dreieck gibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Im Dreieck ABC gilt α = β. Die Seite BC ist 7 cm lang, die Seite AB ist 5 cm lang. Wie groß ist der Umfang des Dreiecks (in cm)?