Kreisbogen und Kreissektor
Ein Sektor hat den Mittelpunktswinkel 90°. Welchen Anteil des ganzen Kreises nimmt er ein?
Erklärung: 90° : 360° = 1/4, ein Viertelkreis. 1/2 gehört zu 180° (Halbkreis), 1/90 entsteht, wenn man den Winkel in den Nenner stellt.
Ein Sektor mit dem Mittelpunktswinkel 60° ist ein Sechstel des Kreises.
Erklärung: 60° : 360° = 1/6.
Welchen Anteil des Kreises nimmt der gefärbte Sektor ein?
Erklärung: Der Mittelpunktswinkel ist 120°: 120° : 360° = 1/3. Der Sektor sieht größer aus als ein Viertel, aber ein Halbkreis (1/2) wäre er erst bei 180°.
Ein Sektor hat den Mittelpunktswinkel 45°. Welchen Anteil des Kreises nimmt er ein (als Dezimalzahl)?
Erklärung: 45° : 360° = 1/8 = 0,125.
Ein Kreis wird in 8 gleich große Sektoren geteilt. Wie groß ist der Mittelpunktswinkel eines Sektors (in Grad)?
Erklärung: 360° : 8 = 45°.
Ein Kreis hat den Radius 6 cm. Wie lang ist der Kreisbogen zum Mittelpunktswinkel 60°?
Erklärung: b = 60°/360° · 2 · π · 6 cm = 1/6 · 37,7 cm ≈ 6,3 cm. 37,7 cm ist der ganze Umfang (Anteil vergessen), 18,8 ist der Zahlenwert der Sektorfläche (18,8 cm²) – eine Fläche, keine Länge.
Ein Halbkreis mit dem Radius 5 cm hat einen Bogen der Länge π · 5 cm ≈ 15,7 cm.
Erklärung: Der Halbkreisbogen ist der halbe Umfang: 1/2 · 2 · π · 5 cm = π · 5 cm ≈ 15,7 cm.
Ein Halbkreis gehört zu einem Kreis mit dem Durchmesser 10 cm. Wie lang ist sein Bogen?
Erklärung: Der Umfang ist π · 10 cm ≈ 31,4 cm, der Halbkreisbogen die Hälfte: 15,7 cm. 31,4 cm ist der ganze Kreis, 7,9 cm wäre ein Viertelkreis.
Berechne die Länge des Kreisbogens zum Mittelpunktswinkel 72° bei r = 5 cm (in cm, auf 0,01 gerundet).
Erklärung: b = 72°/360° · 2 · π · 5 cm = 1/5 · 31,416 cm ≈ 6,28 cm.
Die Spitze eines Minutenzeigers ist 12 cm vom Drehpunkt entfernt. Welchen Weg legt sie in 10 Minuten zurück (in cm, auf 0,1 gerundet)?
Erklärung: In 10 Minuten dreht sich der Zeiger um 60° (ein Sechstel). b = 1/6 · 2 · π · 12 cm ≈ 12,57 cm ≈ 12,6 cm.
Ein Kreis hat den Radius 6 cm. Welchen Flächeninhalt hat der Sektor zum Mittelpunktswinkel 60°?
Erklärung: A_S = 60°/360° · π · 6² cm² = 1/6 · 113,1 cm² ≈ 18,8 cm². 113,1 cm² ist die ganze Kreisfläche (Anteil vergessen), 6,3 ist die Bogenlänge in cm.
Ein Sektor mit dem Mittelpunktswinkel 180° hat den halben Flächeninhalt des Kreises.
Erklärung: 180° : 360° = 1/2, ein Halbkreis hat die halbe Kreisfläche.
Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Sektor A hat den Winkel 90°, Sektor B den Winkel 45°. Wie verhalten sich die Flächeninhalte?
Erklärung: Der Winkel bestimmt nur den Anteil: 90° : 45° = 2, also ist A doppelt so groß (12,6 cm² gegen 6,3 cm²). Das Quadrieren (Faktor 4) gilt für den Radius, nicht für den Winkel.
Berechne die Fläche des Sektors zum Mittelpunktswinkel 45° bei r = 4 cm (in cm², auf 0,01 gerundet).
Erklärung: A_S = 45°/360° · π · 4² cm² = 1/8 · 50,265 cm² ≈ 6,28 cm².
Ein Rasensprenger mit der Reichweite 8 m beregnet einen Sektor mit dem Winkel 120°. Wie groß ist die beregnete Fläche in m² (auf 0,1 gerundet)?
Erklärung: A_S = 1/3 · π · 8² m² = 1/3 · 201,06 m² ≈ 67,0 m².
Ein Sektor mit r = 6 cm hat den Flächeninhalt 28,3 cm². Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel (in Grad, auf ganze Grad gerundet)?
Erklärung: Die Kreisfläche ist π · 36 cm² ≈ 113,1 cm². 28,3 : 113,1 ≈ 0,25 = 1/4, also α = 1/4 · 360° = 90°.
Eine Pizza mit dem Durchmesser 32 cm wird in 10 gleich große Stücke geschnitten. Zeichne eine Skizze eines Stücks, berechne den Mittelpunktswinkel, den Flächeninhalt eines Stücks und die Länge des Krustenbogens.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Ein Zehntel von Fläche und Umfang des Kreises mit r = 16 cm: A_S ≈ 80,4 cm², b ≈ 10,05 cm.
Ein Kreisausschnitt hat r = 6 cm und den Winkel 90°. Berechne seine Fläche (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist der ganze Kreis. Der Ausschnitt ist nur 1/4 davon.
Der Ausschnitt ist 90/360 = 1/4 des Kreises: A = 1/4 · 3,14 · 36 ≈ 28,26 cm².
Ein Kreisausschnitt hat r = 10 cm und den Winkel 72°. Berechne seine Fläche (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist der ganze Kreis. Der Ausschnitt ist nur 1/5 davon.
Der Ausschnitt ist 72/360 = 1/5 des Kreises: A = 1/5 · 3,14 · 100 ≈ 62,8 cm².