Kreisbogen und Kreissektor

Circular arc and sector

Mathematik Klasse 8 19 Aufgaben

GeometrieKreiseFlächeninhaltUmfang

Ein Kreissektor nimmt den Anteil α : 360° des Kreises ein; derselbe Anteil gilt für den Umfang (Bogenlänge b) und für die Fläche (Sektorfläche A_S). Beispiele: Viertelkreis, Halbkreis, Tortenstück, Minutenzeiger. Räumt aus: den Anteil vergessen (ganzer Umfang, ganze Fläche), Bogenlänge und Sektorfläche vertauschen (Länge gegen Fläche) und den Radius-Effekt auf den Winkel übertragen (doppelter Winkel ist nur doppelte, nicht vierfache Fläche). Bereitet Sachaufgaben mit Kreisteilen und später den Kegelmantel vor.

Ein Tortenstück ist ein Kreissektor: Er wird von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt. Der Winkel zwischen den Radien heißt Mittelpunktswinkel α. Ein Sektor mit α = 90° ist ein Viertel des Kreises, mit α = 180° ein Halbkreis. Allgemein nimmt der Sektor den Anteil α : 360° des Kreises ein.

Derselbe Anteil gilt für den Umfang und für die Fläche: Die Bogenlänge $b$ ist der Anteil vom Umfang, die Sektorfläche $A_{S}$ der Anteil von der Kreisfläche:

$b = \frac{α}{36 0 ^{\circ}} \cdot 2 π r A_{S} = \frac{α}{36 0 ^{\circ}} \cdot π r^{2}$

Beispiel $r = 3 cm$ und $α = 6 0^{\circ}$ , also ein Sechstel: $b = \frac{1}{6} \cdot 18, 85 cm \approx 3, 14 cm$ und $A_{S} = \frac{1}{6} \cdot 28, 27 cm^{2} \approx 4, 71 cm^{2}$ . Vorsicht: b ist eine Länge (cm), A_S eine Fläche (cm²). Der Winkel wirkt nur einfach: Halbe Winkel, halbe Fläche – anders als beim Radius.

Zwei Sonderfälle helfen beim Kontrollieren: Beim Viertelkreis (90°) ist b ein Viertel des Umfangs, beim Halbkreis (180°) die Hälfte. Der Halbkreisbogen mit $r = 5 cm$ ist $b = π \cdot 5 cm \approx 15, 7 cm$ lang.

Verändere den Winkel α. Welcher Anteil des Kreises gehört zu 180°, welcher zu 90°?

Voraussetzungen (1)

Die Kreisfläche

Klasse 8

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Sektor hat den Mittelpunktswinkel 90°. Welchen Anteil des ganzen Kreises nimmt er ein?

● 1/4
○ 1/2
○ 1/90

90° : 360° = 1/4, ein Viertelkreis. 1/2 gehört zu 180° (Halbkreis), 1/90 entsteht, wenn man den Winkel in den Nenner stellt.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Sektor mit dem Mittelpunktswinkel 60° ist ein Sechstel des Kreises.

✓ Wahr

60° : 360° = 1/6.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welchen Anteil des Kreises nimmt der gefärbte Sektor ein?

● 1/3
○ 1/2
○ 1/6

Der Mittelpunktswinkel ist 120°: 120° : 360° = 1/3. Der Sektor sieht größer aus als ein Viertel, aber ein Halbkreis (1/2) wäre er erst bei 180°.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Radius 6 cm. Wie lang ist der Kreisbogen zum Mittelpunktswinkel 60°?

● 6,3 cm
○ 37,7 cm
○ 18,8 cm

b = 60°/360° · 2 · π · 6 cm = 1/6 · 37,7 cm ≈ 6,3 cm. 37,7 cm ist der ganze Umfang (Anteil vergessen), 18,8 ist der Zahlenwert der Sektorfläche (18,8 cm²) – eine Fläche, keine Länge.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ein Halbkreis mit dem Radius 5 cm hat einen Bogen der Länge π · 5 cm ≈ 15,7 cm.

✓ Wahr

Der Halbkreisbogen ist der halbe Umfang: 1/2 · 2 · π · 5 cm = π · 5 cm ≈ 15,7 cm.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Ein Halbkreis gehört zu einem Kreis mit dem Durchmesser 10 cm. Wie lang ist sein Bogen?

● 15,7 cm
○ 31,4 cm
○ 7,9 cm

Der Umfang ist π · 10 cm ≈ 31,4 cm, der Halbkreisbogen die Hälfte: 15,7 cm. 31,4 cm ist der ganze Kreis, 7,9 cm wäre ein Viertelkreis.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Radius 6 cm. Welchen Flächeninhalt hat der Sektor zum Mittelpunktswinkel 60°?

● 18,8 cm²
○ 113,1 cm²
○ 6,3 cm²

A_S = 60°/360° · π · 6² cm² = 1/6 · 113,1 cm² ≈ 18,8 cm². 113,1 cm² ist die ganze Kreisfläche (Anteil vergessen), 6,3 ist die Bogenlänge in cm.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Ein Sektor mit dem Mittelpunktswinkel 180° hat den halben Flächeninhalt des Kreises.

✓ Wahr

180° : 360° = 1/2, ein Halbkreis hat die halbe Kreisfläche.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Sektor A hat den Winkel 90°, Sektor B den Winkel 45°. Wie verhalten sich die Flächeninhalte?

● A ist doppelt so groß wie B
○ A ist viermal so groß wie B
○ A und B sind gleich groß

Der Winkel bestimmt nur den Anteil: 90° : 45° = 2, also ist A doppelt so groß (12,6 cm² gegen 6,3 cm²). Das Quadrieren (Faktor 4) gilt für den Radius, nicht für den Winkel.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Sektor hat den Mittelpunktswinkel 45°. Welchen Anteil des Kreises nimmt er ein (als Dezimalzahl)?

✓ Antwort: 0.125

45° : 360° = 1/8 = 0,125.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Länge des Kreisbogens zum Mittelpunktswinkel 72° bei r = 5 cm (in cm, auf 0,01 gerundet).

✓ Antwort: 6.28

b = 72°/360° · 2 · π · 5 cm = 1/5 · 31,416 cm ≈ 6,28 cm.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne die Fläche des Sektors zum Mittelpunktswinkel 45° bei r = 4 cm (in cm², auf 0,01 gerundet).

✓ Antwort: 6.28

A_S = 45°/360° · π · 4² cm² = 1/8 · 50,265 cm² ≈ 6,28 cm².

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Ein Kreisausschnitt hat r = 6 cm und den Winkel 90°. Berechne seine Fläche (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.

✓ Antwort: 28.26

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

Ein Kreisausschnitt hat r = 10 cm und den Winkel 72°. Berechne seine Fläche (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.

✓ Antwort: 62.8

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Kreis wird in 8 gleich große Sektoren geteilt. Wie groß ist der Mittelpunktswinkel eines Sektors (in Grad)?

✓ Antwort: 45

360° : 8 = 45°.

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Die Spitze eines Minutenzeigers ist 12 cm vom Drehpunkt entfernt. Welchen Weg legt sie in 10 Minuten zurück (in cm, auf 0,1 gerundet)?

✓ Antwort: 12.6

In 10 Minuten dreht sich der Zeiger um 60° (ein Sechstel). b = 1/6 · 2 · π · 12 cm ≈ 12,57 cm ≈ 12,6 cm.

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Ein Rasensprenger mit der Reichweite 8 m beregnet einen Sektor mit dem Winkel 120°. Wie groß ist die beregnete Fläche in m² (auf 0,1 gerundet)?

✓ Antwort: 67

A_S = 1/3 · π · 8² m² = 1/3 · 201,06 m² ≈ 67,0 m².

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Ein Sektor mit r = 6 cm hat den Flächeninhalt 28,3 cm². Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel (in Grad, auf ganze Grad gerundet)?

✓ Antwort: 90

Die Kreisfläche ist π · 36 cm² ≈ 113,1 cm². 28,3 : 113,1 ≈ 0,25 = 1/4, also α = 1/4 · 360° = 90°.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Eine Pizza mit dem Durchmesser 32 cm wird in 10 gleich große Stücke geschnitten. Zeichne eine Skizze eines Stücks, berechne den Mittelpunktswinkel, den Flächeninhalt eines Stücks und die Länge des Krustenbogens. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze eines Sektors mit r = 16 cm. α = 360° : 10 = 36°. A_S = 36°/360° · π · 16² cm² = 1/10 · 804,2 cm² ≈ 80,4 cm². b = 1/10 · 2 · π · 16 cm ≈ 10,05 cm.

Ein Zehntel von Fläche und Umfang des Kreises mit r = 16 cm: A_S ≈ 80,4 cm², b ≈ 10,05 cm.