Umfang und die Zahl π
Ein Topfdeckel hat den Durchmesser 20 cm und den Umfang 62,8 cm. Was ergibt Umfang geteilt durch Durchmesser?
Erklärung: 62,8 : 20 = 3,14. Bei jedem Kreis kommt bei Umfang : Durchmesser dieselbe Zahl π ≈ 3,14 heraus. 0,32 wäre der Kehrwert d : U (0,32), 42,8 die Differenz U − d.
Ein zweiter Kreis hat den doppelten Durchmesser des Topfdeckels. Bei ihm ist Umfang : Durchmesser doppelt so groß, nämlich etwa 6,28.
Erklärung: Der Umfang wird auch doppelt so lang, der Quotient U : d bleibt bei jedem Kreis π ≈ 3,14: 125,6 : 40 = 3,14.
Ein runder Teller hat den Durchmesser 24 cm. Welcher Umfang passt zu ihm?
Erklärung: Der Umfang ist π · 24 cm ≈ 75,4 cm, also gut dreimal der Durchmesser. 48 cm wäre nur das Doppelte (U = 2d), 151 cm das 2π-Fache des Durchmessers.
Bei jedem Kreis ist Umfang : Durchmesser ungefähr gleich. Wie groß ist dieser Quotient (auf zwei Nachkommastellen gerundet)?
Erklärung: Umfang : Durchmesser = π ≈ 3,14 – für alle Kreise.
Anna wickelt eine Schnur einmal um ein Fass. Die Schnur ist 1,88 m lang. Wie groß ist der Durchmesser des Fasses in cm (Umfang : Durchmesser ≈ 3,14; auf ganze cm gerundet)?
Erklärung: d = U : π ≈ 188 cm : 3,14 ≈ 59,9 cm, also etwa 60 cm.
Um einen Kreis mit d = 2 cm liegt ein Quadrat (Umfang 8 cm), in ihm ein zweites (Umfang 5,66 cm). Zwischen welchen Zahlen liegt π?
Erklärung: Man teilt die Umfänge durch den Durchmesser: 5,66 : 2 = 2,83 und 8 : 2 = 4. So ist 2,83 < π < 4. 5,66 und 8 sind die Umfänge selbst, 1,41 und 2 die Seitenlängen der Quadrate.
Lena rechnet mit π = 3,14 und erhält für einen Kreis mit d = 100 m den Umfang 314 m. Der Taschenrechner zeigt 314,159… m. Lenas Wert ist genau richtig.
Erklärung: 3,14 ist nur eine Näherung; π = 3,14159… hört nie auf. Lenas 314 m sind gerundet, nicht exakt.
Bei d = 10 cm hat das einbeschriebene Sechseck den Umfang 30 cm, das umbeschriebene 34,6 cm. Welcher Wert kann π sein?
Erklärung: Geteilt durch d = 10 cm: 3 < π < 3,46. Nur 3,14 liegt dazwischen; 2,9 liegt unter der unteren, 3,5 über der oberen Schranke.
Runde π = 3,14159265… auf drei Nachkommastellen.
Erklärung: π = 3,14159… ; die vierte Nachkommastelle ist eine 5, deshalb wird aufgerundet: 3,142.
Ein Kreis hat den Radius 5 cm. Das einbeschriebene Sechseck hat sechs gleich lange Seiten, jede so lang wie der Radius. Wie viel ist der Umfang des Sechsecks geteilt durch den Durchmesser des Kreises?
Erklärung: Umfang des Sechsecks: 6 · 5 cm = 30 cm. Durchmesser: 10 cm. 30 : 10 = 3. Das ist die untere Schranke: π > 3.
Ein rundes Beet hat den Durchmesser 6 m. Welche Rechnung liefert seinen Umfang?
Erklärung: U = π · d = π · 6 m ≈ 18,85 m. π · 3 m setzt den Radius statt des Durchmessers ein (halber Umfang), π · 6² gehört nicht zum Umfang.
Ein Kreis hat den Radius 5 cm. Sein Umfang ist π · 5 cm ≈ 15,7 cm.
Erklärung: Mit dem Radius gilt U = 2 · π · r = 2 · π · 5 cm ≈ 31,4 cm. 15,7 cm ist nur der halbe Umfang.
Tippe auf die Strecke, deren Länge in der Formel U = π · d vorkommt.
Erklärung: In U = π · d steht der Durchmesser d, die längste Strecke durch den Mittelpunkt: BC. MA ist ein Radius, EF eine Sehne, die nicht durch den Mittelpunkt geht.
Berechne den Umfang eines Kreises mit d = 4 m (auf 0,01 m gerundet).
Erklärung: U = π · 4 m = 12,5664 m ≈ 12,57 m.
Um ein rundes Beet mit dem Radius 2,5 m soll ein Zaun. Wie lang ist der Zaun (auf 0,1 m gerundet)?
Erklärung: U = 2 · π · r = 2 · π · 2,5 m = 15,708 m ≈ 15,7 m.
Ein Fahrrad legt bei einer Umdrehung des Rades 2,20 m zurück. Wie groß ist der Durchmesser des Rades in cm (auf ganze cm gerundet)?
Erklärung: Der Weg ist der Umfang: d = U : π = 220 cm : π ≈ 70,0 cm, also etwa 70 cm.
Ein kreisrundes Beet mit dem Durchmesser 4 m soll mit geraden Kantensteinen von je 25 cm Länge umrandet werden. Zeichne eine Skizze, schreibe die Formel für den Umfang auf, berechne ihn und bestimme, wie viele Steine du kaufen musst.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Rand ist der Umfang: U = π · 4 m ≈ 12,57 m. Geteilt durch 0,25 m sind das 50,3 Steine, gekauft werden 51.
Berechne 3,14 · 10.
3,14 · 10 = 31,4: das Komma rückt eine Stelle nach rechts.
Ein Kreis hat r = 4 cm. Berechne den Umfang U (in cm). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist die Fläche πr². Der Umfang ist 2πr.
U = 2 · π · r = 2 · 3,14 · 4 ≈ 25,12 cm.
Ein Kreis hat r = 7 cm. Berechne den Umfang U (in cm). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist die Fläche πr². Der Umfang ist 2πr.
U = 2 · π · r = 2 · 3,14 · 7 ≈ 43,96 cm.
Ein Kreis hat d = 10 cm. Berechne den Umfang U (in cm). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist die Fläche πr². Der Umfang ist 2πr.
d ist der Durchmesser. Der Radius ist d : 2 = 5 cm.
r = d : 2 = 5 cm. U = 2 · π · r = π · d = 3,14 · 10 ≈ 31,4 cm.
Ein Kreis hat d = 12 cm. Berechne den Umfang U (in cm). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist die Fläche πr². Der Umfang ist 2πr.
d ist der Durchmesser. Der Radius ist d : 2 = 6 cm.
r = d : 2 = 6 cm. U = 2 · π · r = π · d = 3,14 · 12 ≈ 37,68 cm.
Ein Kreis hat d = 6 cm. Ist U = 3,14 · 6 = 18,84 cm?
Ja: U = π · d, weil 2 · r = d ist.
Ein Kreis hat d = 9 cm. Ist U = 3,14 · 9 = 28,26 cm?
Ja: U = π · d, weil 2 · r = d ist.