Doppelter Radius, doppelte Fläche?
Ein Kreis mit r = 3 cm hat den Umfang 18,8 cm. Ein zweiter Kreis hat r = 6 cm. Welchen Umfang hat er?
Erklärung: Der Radius wird verdoppelt, also auch der Umfang: 2 · 18,8 cm ≈ 37,7 cm (2 · π · 6 cm). 75,4 cm ist das Vierfache (Verwechslung mit der Fläche), 21,8 cm addiert die 3 cm Radiuszuwachs.
Wird der Radius eines Kreises verdreifacht, verdreifacht sich auch sein Umfang.
Erklärung: U = 2 · π · r ist proportional zu r: Radius mal 3 ergibt Umfang mal 3.
Ein Kreis hat den Umfang 40 cm. Ein zweiter Kreis hat den halben Radius. Welchen Umfang hat er?
Erklärung: Der Umfang wird mit dem Radius halbiert: 40 cm : 2 = 20 cm. 10 cm wäre ein Viertel (Verwechslung mit der Fläche), 80 cm eine Verdopplung.
Der Radius eines Kreises wird mit dem Faktor 3 multipliziert. Mit welchem Faktor wird der Umfang multipliziert?
Erklärung: U = 2 · π · r: Der Umfang ist proportional zum Radius, Faktor 3 bleibt Faktor 3.
Ein Kreis mit r = 4 cm hat den Umfang 25,1 cm. Ein zweiter Kreis hat den Umfang 75,4 cm. Wie groß ist sein Radius (in cm)?
Erklärung: 75,4 : 25,1 = 3, der Umfang ist dreimal so groß. Also ist auch der Radius dreimal so groß: 3 · 4 cm = 12 cm.
Ein Kreis hat den Flächeninhalt 10 cm². Ein zweiter Kreis hat den doppelten Radius. Welchen Flächeninhalt hat er?
Erklärung: Bei doppeltem Radius ist A = π · (2r)² = 4 · π · r², also das Vierfache: 40 cm². 20 cm² wäre die lineare Rechnung (Faktor 2 wie beim Umfang), 80 cm² das Achtfache.
Wird der Radius eines Kreises verdreifacht, wird sein Flächeninhalt verneunfacht.
Erklärung: A = π · (3r)² = 9 · π · r²: der Faktor 3 wirkt zweimal, 3 · 3 = 9.
Wie viele Kreise mit dem Radius r haben zusammen dieselbe Fläche wie ein Kreis mit dem Radius 3r?
Erklärung: Die Fläche des großen Kreises ist π · (3r)² = 9 · π · r², also neunmal so groß wie die des kleinen. 3 Kreise wären die Rechnung mit dem Umfang.
Der Radius eines Kreises wird mit dem Faktor 5 multipliziert. Mit welchem Faktor wird der Flächeninhalt multipliziert?
Erklärung: Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Faktors: 5² = 25.
Ein Kreisbeet mit r = 1,5 m braucht 7 Säcke Erde. Wie viele Säcke braucht ein Beet mit r = 3 m bei gleicher Schichtdicke?
Erklärung: Der Radius wird verdoppelt, die Fläche vervierfacht: 4 · 7 Säcke = 28 Säcke. (Nicht 14: die Erde deckt die Fläche, nicht den Radius.)
Welche Zeile zeigt die Flächeninhalte A (in cm², gerundet) von Kreisen mit r = 1 cm, 2 cm und 3 cm?
Erklärung: A = π · r²: π · 1 = 3,1, π · 4 = 12,6, π · 9 = 28,3. Die Zeile 3,1 | 6,3 | 9,4 gehört zu π · r (linear), die Zeile 6,3 | 12,6 | 18,8 zum Umfang 2 · π · r.
Der Graph der Zuordnung Radius ↦ Flächeninhalt eines Kreises ist eine Gerade durch den Ursprung.
Erklärung: Bei einer Geraden durch den Ursprung bliebe A : r gleich. Aber A : r = π · r wächst mit r; der Graph ist eine gekrümmte Kurve.
Welche Zuordnung gehört zur gekrümmten Kurve f?
Erklärung: Die gekrümmte Kurve gehört zu r ↦ π · r²: Die Fläche wächst schneller als der Radius. Die beiden anderen Zuordnungen sind linear und haben Geraden als Graph.
Für r = 2 cm ist A = 12,57 cm². Berechne A : r² (auf zwei Nachkommastellen gerundet).
Erklärung: 12,57 : 4 = 3,1425 ≈ 3,14. A : r² ist bei jedem Kreis π.
Ein Kreis hat den Flächeninhalt 314 cm². Wie groß ist sein Radius (in cm, auf ganze cm gerundet)?
Erklärung: A = π · r², also r² = 314 : π ≈ 99,95 und r = √99,95 ≈ 10,00, also 10 cm.
Ein Kreis mit r = 10 cm soll durch einen kleineren Kreis mit der halben Fläche ersetzt werden. Welchen Radius hat der kleinere Kreis (in cm, auf 0,1 gerundet)?
Erklärung: Halbe Fläche heißt Radius geteilt durch √2, nicht durch 2: r = 10 cm : √2 ≈ 7,07 cm ≈ 7,1 cm. (Halber Radius 5 cm gäbe nur ein Viertel der Fläche.)
Ein rundes Beet hat den Radius 2 m. Es soll auf den Radius 4 m vergrößert werden. Berechne Umfang und Flächeninhalt vorher und nachher und gib an, um welchen Faktor beide wachsen. Erkläre in einem Satz, warum die Faktoren verschieden sind.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Umfang wächst mit dem Faktor 2, Fläche mit 2² = 4: doppelter Radius, vierfache Fläche.
Ein Kreis bekommt den doppelten Radius. Wird seine Fläche doppelt so groß?
Nein: r² wird 2² = 4-mal so groß. Die Fläche wird viermal so groß.
Ein Kreis bekommt den dreifachen Radius. Wird seine Fläche dreimal so groß?
Nein: r² wird 3² = 9-mal so groß. Die Fläche wird neunmal so groß.