Doppelter Radius, doppelte Fläche?

Double radius, double area?

Mathematik Klasse 8 19 Aufgaben

GeometrieKreiseFlächeninhaltUmfang

Wird der Radius mit k multipliziert, wächst der Umfang mit k, die Fläche aber mit k²: doppelter Radius, doppelter Umfang und vierfache Fläche. Wertetabelle und Graph zeigen, dass r ↦ A keine Gerade ist – A : r wächst, nur A : r² bleibt π. Räumt die Illusion der Linearität aus („doppelt so lang, doppelt so groß“; De Bock et al.) und das Rückwärtsdenken „halbe Fläche, halber Radius“. Bereitet Sektoren, Volumina (Radius ×2 ⇒ Zylindervolumen ×4) und später Ähnlichkeit und Potenzfunktionen vor.

Verdoppelter Radius

Das Beet soll breiter werden: Der Radius wird von 1,5 m auf 3 m verdoppelt. Braucht man dann doppelt so viele Randsteine und doppelt so viel Erde? Erst raten, dann nachsehen.

Der Umfang wächst mit: Aus $U = 2 π r$ wird bei doppeltem Radius $U = 2 π \cdot 2 r$ , also das Doppelte (9,42 m → 18,85 m). Bei der Fläche steckt der Radius zweimal in der Formel: $A = π \cdot (2 r)^{2} = π \cdot 4 r^{2}$ , also das Vierfache (7,07 m² → 28,27 m²). Wird der Radius mit dem Faktor k multipliziert, wird der Umfang mit k und die Fläche mit $k^{2}$ multipliziert. Dreifacher Radius: dreifacher Umfang, neunfache Fläche.

Verändere k. Wie verhalten sich die beiden Umfänge und die beiden Flächen?

Keine Gerade

Ordnet man jedem Radius die Fläche zu, entsteht diese Wertetabelle:

r in cm	1	2	3
A in cm²	3,14	12,57	28,27
A : r	3,14	6,28	9,42
A : r²	3,14	3,14	3,14

Die Zeile $A : r$ wächst mit; nur $A : r^{2} = π$ bleibt gleich. Die Zuordnung $r \mapsto A$ ist nicht linear: Ihr Graph ist keine Gerade, sondern eine gekrümmte Kurve (eine Parabel, die du später genauer kennenlernst). Das ist die Illusion der Linearität: „doppelt so lang, doppelt so groß“ stimmt für den Umfang, aber nicht für die Fläche.

Schiebe P nach rechts. Wie weit weicht die Kurve von der gestrichelten Geraden ab?

Voraussetzungen (1)

Die Kreisfläche

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Kreis mit r = 3 cm hat den Umfang 18,8 cm. Ein zweiter Kreis hat r = 6 cm. Welchen Umfang hat er?

● 37,7 cm
○ 75,4 cm
○ 21,8 cm

Der Radius wird verdoppelt, also auch der Umfang: 2 · 18,8 cm ≈ 37,7 cm (2 · π · 6 cm). 75,4 cm ist das Vierfache (Verwechslung mit der Fläche), 21,8 cm addiert die 3 cm Radiuszuwachs.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Wird der Radius eines Kreises verdreifacht, verdreifacht sich auch sein Umfang.

✓ Wahr

U = 2 · π · r ist proportional zu r: Radius mal 3 ergibt Umfang mal 3.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Umfang 40 cm. Ein zweiter Kreis hat den halben Radius. Welchen Umfang hat er?

● 20 cm
○ 10 cm
○ 80 cm

Der Umfang wird mit dem Radius halbiert: 40 cm : 2 = 20 cm. 10 cm wäre ein Viertel (Verwechslung mit der Fläche), 80 cm eine Verdopplung.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Flächeninhalt 10 cm². Ein zweiter Kreis hat den doppelten Radius. Welchen Flächeninhalt hat er?

● 40 cm²
○ 20 cm²
○ 80 cm²

Bei doppeltem Radius ist A = π · (2r)² = 4 · π · r², also das Vierfache: 40 cm². 20 cm² wäre die lineare Rechnung (Faktor 2 wie beim Umfang), 80 cm² das Achtfache.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Wird der Radius eines Kreises verdreifacht, wird sein Flächeninhalt verneunfacht.

✓ Wahr

A = π · (3r)² = 9 · π · r²: der Faktor 3 wirkt zweimal, 3 · 3 = 9.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Wie viele Kreise mit dem Radius r haben zusammen dieselbe Fläche wie ein Kreis mit dem Radius 3r?

● 9
○ 3
○ 6

Die Fläche des großen Kreises ist π · (3r)² = 9 · π · r², also neunmal so groß wie die des kleinen. 3 Kreise wären die Rechnung mit dem Umfang.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Zeile zeigt die Flächeninhalte A (in cm², gerundet) von Kreisen mit r = 1 cm, 2 cm und 3 cm?

● 3,1 | 12,6 | 28,3
○ 3,1 | 6,3 | 9,4
○ 6,3 | 12,6 | 18,8

A = π · r²: π · 1 = 3,1, π · 4 = 12,6, π · 9 = 28,3. Die Zeile 3,1 | 6,3 | 9,4 gehört zu π · r (linear), die Zeile 6,3 | 12,6 | 18,8 zum Umfang 2 · π · r.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der Graph der Zuordnung Radius ↦ Flächeninhalt eines Kreises ist eine Gerade durch den Ursprung.

✓ Falsch

Bei einer Geraden durch den Ursprung bliebe A : r gleich. Aber A : r = π · r wächst mit r; der Graph ist eine gekrümmte Kurve.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche Zuordnung gehört zur gekrümmten Kurve f?

● r ↦ π · r²
○ r ↦ 2 · π · r
○ r ↦ π · r

Die gekrümmte Kurve gehört zu r ↦ π · r²: Die Fläche wächst schneller als der Radius. Die beiden anderen Zuordnungen sind linear und haben Geraden als Graph.

Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Ein Kreis bekommt den doppelten Radius. Wird seine Fläche doppelt so groß?

✓ Nein

Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Ein Kreis bekommt den dreifachen Radius. Wird seine Fläche dreimal so groß?

✓ Nein

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Der Radius eines Kreises wird mit dem Faktor 3 multipliziert. Mit welchem Faktor wird der Umfang multipliziert?

✓ Antwort: 3

U = 2 · π · r: Der Umfang ist proportional zum Radius, Faktor 3 bleibt Faktor 3.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Der Radius eines Kreises wird mit dem Faktor 5 multipliziert. Mit welchem Faktor wird der Flächeninhalt multipliziert?

✓ Antwort: 25

Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Faktors: 5² = 25.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für r = 2 cm ist A = 12,57 cm². Berechne A : r² (auf zwei Nachkommastellen gerundet).

✓ Antwort: 3.14

12,57 : 4 = 3,1425 ≈ 3,14. A : r² ist bei jedem Kreis π.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Kreis mit r = 4 cm hat den Umfang 25,1 cm. Ein zweiter Kreis hat den Umfang 75,4 cm. Wie groß ist sein Radius (in cm)?

✓ Antwort: 12

75,4 : 25,1 = 3, der Umfang ist dreimal so groß. Also ist auch der Radius dreimal so groß: 3 · 4 cm = 12 cm.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Ein Kreisbeet mit r = 1,5 m braucht 7 Säcke Erde. Wie viele Säcke braucht ein Beet mit r = 3 m bei gleicher Schichtdicke?

✓ Antwort: 28

Der Radius wird verdoppelt, die Fläche vervierfacht: 4 · 7 Säcke = 28 Säcke. (Nicht 14: die Erde deckt die Fläche, nicht den Radius.)

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Flächeninhalt 314 cm². Wie groß ist sein Radius (in cm, auf ganze cm gerundet)?

✓ Antwort: 10

A = π · r², also r² = 314 : π ≈ 99,95 und r = √99,95 ≈ 10,00, also 10 cm.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Ein Kreis mit r = 10 cm soll durch einen kleineren Kreis mit der halben Fläche ersetzt werden. Welchen Radius hat der kleinere Kreis (in cm, auf 0,1 gerundet)?

✓ Antwort: 7.1

Halbe Fläche heißt Radius geteilt durch √2, nicht durch 2: r = 10 cm : √2 ≈ 7,07 cm ≈ 7,1 cm. (Halber Radius 5 cm gäbe nur ein Viertel der Fläche.)

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein rundes Beet hat den Radius 2 m. Es soll auf den Radius 4 m vergrößert werden. Berechne Umfang und Flächeninhalt vorher und nachher und gib an, um welchen Faktor beide wachsen. Erkläre in einem Satz, warum die Faktoren verschieden sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Vorher: U = 2 · π · 2 m ≈ 12,57 m, A = π · 2² m² ≈ 12,57 m². Nachher: U = 2 · π · 4 m ≈ 25,13 m, A = π · 4² m² ≈ 50,27 m². Umfang: Faktor 2, Fläche: Faktor 4. Der Radius steckt in U einmal, in A = π · r · r zweimal, deshalb wirkt der Faktor 2 einmal beziehungsweise zweimal (2 · 2 = 4).

Umfang wächst mit dem Faktor 2, Fläche mit 2² = 4: doppelter Radius, vierfache Fläche.