Volumen: Grundfläche mal Höhe
Ein gerades Prisma hat die Grundfläche 12 cm² und die Höhe 5 cm. Welches Volumen hat es?
Erklärung: V = G · h = 12 cm² · 5 cm = 60 cm³. 17 cm³ addiert die Zahlen, 30 cm³ halbiert noch einmal – die Halbierung eines Dreiecks steckt schon in G.
Ein Dreiecksprisma und ein Quader haben beide die Grundfläche 6 cm² und die Höhe 10 cm. Ihre Volumina sind gleich.
Erklärung: Beide haben V = G · h = 6 cm² · 10 cm = 60 cm³. Die Form der Grundfläche spielt keine Rolle, nur ihr Flächeninhalt.
Ein gerades Prisma hat die Grundfläche 14,5 cm² und die Höhe 8 cm. Berechne sein Volumen (in cm³).
Erklärung: V = G · h = 14,5 cm² · 8 cm = 116 cm³.
Die Grundfläche eines geraden Prismas ist ein Dreieck mit der Grundseite 6 cm und der Höhe 4 cm; das Prisma ist 10 cm hoch. Berechne sein Volumen (in cm³).
Erklärung: Grundfläche: G = 1/2 · 6 cm · 4 cm = 12 cm². Volumen: V = 12 cm² · 10 cm = 120 cm³.
Ein Prisma hat als Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck, dessen Ecken auf einem Kreis liegen. Wenn n immer größer wird, nähert sich das Prisma …
Erklärung: Das n-Eck wird dem Kreis immer ähnlicher, das Prisma dem Zylinder. Eine Kugel oder ein Kegel hat keine gleich große Grundfläche über die ganze Höhe.
Die Grundfläche des einbeschriebenen n-Ecks im Kreis mit r = 1 cm ist 2,60 cm² (n = 6), 3,00 cm² (n = 12) und 3,11 cm² (n = 24). Welchem Wert nähert sie sich?
Erklärung: Die Grundfläche nähert sich der Kreisfläche π · r² = π · 1² cm² ≈ 3,14 cm². 3,00 cm² ist nur der Wert bei n = 12, und 6,28 ist der Zahlenwert des Umfangs 2π, keine Fläche.
Das Prisma mit dem 24-Eck als Grundfläche hat die Grundfläche 3,106 cm² und die Höhe 5 cm. Berechne sein Volumen (in cm³, auf 0,01 gerundet).
Erklärung: V = G · h = 3,106 cm² · 5 cm = 15,53 cm³.
Der Zylinder mit r = 1 cm und h = 5 cm hat V = π · 1² · 5 cm³ ≈ 15,71 cm³. Um wie viel cm³ ist er größer als das 24-Eck-Prisma mit 15,53 cm³ (auf 0,01 gerundet)?
Erklärung: 15,71 cm³ − 15,53 cm³ = 0,18 cm³. Der Unterschied ist klein: Das 24-Eck-Prisma nähert den Zylinder schon gut an.
Ein Zylinder hat r = 3 cm und h = 10 cm. Welche Rechnung liefert sein Volumen?
Erklärung: V = π · r² · h = π · 3² · 10 cm³ ≈ 282,7 cm³. 2 · π · 3 · 10 ist die Mantelfläche, π · 3 · 10 lässt das Quadrat des Radius weg.
Ein Zylinder hat r = 4 cm und h = 5 cm. Welche Angabe ist sein Volumen?
Erklärung: V = π · 4² · 5 cm³ ≈ 251,3 cm³. 125,7 ist der Zahlenwert der Mantelfläche 2 · π · 4 · 5, und cm² wäre die Einheit einer Fläche.
Berechne das Volumen eines Zylinders mit r = 4 cm und h = 9 cm (in cm³, auf 0,1 gerundet).
Erklärung: V = π · 4² · 9 cm³ = 452,389 cm³ ≈ 452,4 cm³.
Die Regentonne hat den Durchmesser 60 cm und die Höhe 90 cm. Wie viele Liter fasst sie (auf ganze Liter gerundet; 1 l = 1000 cm³)?
Erklärung: r = 30 cm. V = π · 30² · 90 cm³ = 254469 cm³ = 254,5 l ≈ 254 l.
Ein Zylinder hat das Volumen 100 cm³. Bei gleichem Radius wird die Höhe verdoppelt. Welches Volumen hat er dann?
Erklärung: V = π · r² · h ist proportional zu h: Höhe mal 2 ergibt Volumen mal 2, also 200 cm³. Das Vierfache (400 cm³) gälte für den Radius, das Achtfache für alle drei Längen eines Quaders.
Verdoppelt man bei gleicher Höhe den Radius eines Zylinders, vervierfacht sich sein Volumen.
Erklärung: V = π · (2r)² · h = 4 · π · r² · h: Der Radius steckt zweimal in der Formel, der Faktor 2 wirkt zweimal.
Der Radius eines Zylinders wird mit dem Faktor 3 multipliziert, die Höhe bleibt gleich. Mit welchem Faktor wird das Volumen multipliziert?
Erklärung: Der Radius steckt quadratisch in der Formel: 3² = 9.
Ein Kübel mit r = 10 cm und h = 20 cm fasst 6,28 Liter. Wie viel fasst ein Kübel mit r = 20 cm und h = 10 cm (in Liter, auf 0,1 gerundet)?
Erklärung: Der Radius wird verdoppelt (Faktor 4), die Höhe halbiert (Faktor 1/2): 4 · 1/2 = 2, also 2 · 6,28 l ≈ 12,6 l. Nachgerechnet: π · 20² · 10 cm³ = 12566 cm³ ≈ 12,6 l.
Eine Konservendose hat den Radius 5 cm und die Höhe 12 cm. Reicht sie für einen Liter Suppe? Zeichne eine Skizze, schreibe die Formel auf, berechne das Volumen in cm³ und in Litern und beantworte die Frage in einem Satz.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: V = π · 5² · 12 cm³ ≈ 942,5 cm³ = 0,9425 l, knapp unter einem Liter.
Ein Zylinder hat r = 2 cm und h = 5 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
V = G · h = π · r² · h = 3,14 · 4 · 5 ≈ 62,8 cm³.
Ein Zylinder hat r = 3 cm und h = 4 cm. Berechne sein Volumen (in cm³). Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist der Mantel 2πrh. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe: πr² · h.
V = G · h = π · r² · h = 3,14 · 9 · 4 ≈ 113,04 cm³.
Eine Dose ist 10 cm hoch und hat den Durchmesser d = 8 cm. Wie viel passt hinein (in cm³)? Rechne mit π ≈ 3,14.
Das ist der Mantel 2πrh. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe: πr² · h.
Der Radius ist d : 2 = 4 cm.
r = 8 : 2 = 4 cm. V = π · r² · h = 3,14 · 16 · 10 ≈ 502,4 cm³.
Ein Eimer (ein Zylinder) ist 12 cm hoch und hat den Durchmesser d = 10 cm. Wie viel Wasser passt hinein (in cm³)? Rechne mit π ≈ 3,14.
Der Radius ist d : 2 = 5 cm.
Das ist der Mantel 2πrh. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe: πr² · h.
r = 10 : 2 = 5 cm. V = π · r² · h = 3,14 · 25 · 12 ≈ 942 cm³.