Zusammengesetzte Körper
Aus welchen Grundkörpern besteht dieser Körper?
Erklärung: Unten steht ein Zylinder mit r = 2 cm, oben sitzt ein Halbkreisbogen, also eine Halbkugel mit demselben Radius. Ein Kegel hätte gerade Seiten, eine ganze Kugel würde unten weiterlaufen.
Aus welchen Grundkörpern besteht der Bleistift im Achsenschnitt?
Erklärung: Der Schaft ist ein Rechteck im Achsenschnitt, also ein Zylinder. Die Spitze hat gerade Seiten, die in einem Punkt zusammenlaufen: ein Kegel.
Eine Eiswaffel mit r = 3 cm und h = 4 cm hat das Volumen 30π cm³, wenn man Kegel (12π cm³) und Halbkugel (18π cm³) addiert.
Erklärung: Die Teile liegen nebeneinander im Körper, ohne sich zu überlappen: V = V_Kegel + V_Halbkugel = 12π + 18π = 30π ≈ 94,2 cm³.
Ein Körper besteht aus einem Zylinder mit dem Volumen 100 cm³ und einer aufgesetzten Halbkugel mit dem Volumen 40 cm³. Wie groß ist sein Volumen (in cm³)?
Erklärung: Die Teile werden addiert: 100 + 40 = 140 cm³.
Berechne das Volumen des Körpers aus Zylinder (r = 2 cm, h = 5 cm) und aufgesetzter Halbkugel (r = 2 cm) in cm³, auf 0,1 genau.
Erklärung: Zylinder: π · 4 · 5 = 20π. Halbkugel: ⅔ · π · 8 = ¹⁶⁄₃π. Zusammen 20π + ¹⁶⁄₃π = ⁷⁶⁄₃π ≈ 79,6 cm³.
Ein Rohr hat den Außenradius 5 cm, den Innenradius 4 cm und die Länge 20 cm. Wie groß ist das Volumen der Rohrwand?
Erklärung: V = V_außen − V_innen = π · 25 · 20 − π · 16 · 20 = 180π ≈ 565,5 cm³. 62,8 cm³ rechnet mit dem Radius 5 − 4 = 1 cm, 1570,8 cm³ vergisst den Hohlraum.
Eine Halbkugelschale hat den Außenradius 10 cm und den Innenradius 9 cm. Das Volumen ihrer Wand ist ⅔ · π · (10 − 9)³ ≈ 2,1 cm³.
Erklärung: Man muss die Volumina abziehen, nicht die Radien: ⅔ · π · (10³ − 9³) = ⅔ · π · 271 ≈ 567,6 cm³. Aus der Radiusdifferenz 10 − 9 = 1 lässt sich das Wandvolumen nicht berechnen, weil die Kugelfläche mitwächst.
Aus einem Zylinder (r = 5 cm, h = 8 cm) wird ein Kegel mit demselben Grundkreis und derselben Höhe herausgebohrt. Wie groß ist das Restvolumen (in cm³, auf 0,1 genau)?
Erklärung: V = π · 25 · 8 − ⅓ · π · 25 · 8 = ⅔ · 200π = ⁴⁰⁰⁄₃π ≈ 418,9 cm³.
Eine Halbkugelschale hat den Außenradius 10 cm und den Innenradius 9 cm. Berechne das Volumen ihrer Wand (in cm³, auf 0,1 genau).
Erklärung: V = V_außen − V_innen = ⅔ · π · 10³ − ⅔ · π · 9³ = ⅔ · π · 271 ≈ 567,6 cm³.
Wie groß ist die Außenfläche der Eiswaffel (Kegel mit r = 3 cm, s = 5 cm und aufgesetzte Halbkugel)?
Erklärung: Außen liegen nur der Kegelmantel π · 3 · 5 = 15π und die gewölbte Halbkugelfläche 2π · 9 = 18π: zusammen 33π ≈ 103,7 cm². 160,2 cm² addiert alle Oberflächen der Teile (24π + 27π), 131,9 cm² zählt zusätzlich den Deckel der Halbkugel (15π + 27π).
Ein Würfel mit der Kante 4 cm steht auf einem zweiten Würfel mit der Kante 4 cm. Der Turm hat die Oberfläche 10 · 16 = 160 cm².
Erklärung: Die Berührfläche 4 · 4 liegt innen und zählt nicht: Von den 12 Quadraten der beiden Würfel bleiben 10 außen. Wer beide Oberflächen addiert, erhält 192 cm² und zählt zwei Quadrate zu viel.
Zwei Würfel mit der Kante 5 cm werden mit je einer Fläche zusammengeklebt. Wie groß ist die Oberfläche des entstandenen Quaders (in cm²)?
Erklärung: Jeder Würfel hat 6 · 25 = 150 cm². Die zwei verklebten Quadrate (je 25 cm²) liegen innen: 300 − 50 = 250 cm².
Berechne die Außenfläche der Eiswaffel (Kegel r = 3 cm, h = 4 cm, mit aufgesetzter Halbkugel r = 3 cm) in cm², auf 0,1 genau.
Erklärung: Mantellinie s = √(3² + 4²) = 5 cm. O = π · 3 · 5 + 2 · π · 9 = 15π + 18π = 33π ≈ 103,7 cm².
Ein Silo besteht aus einem Zylinder (r = 2 m, Höhe 5 m) mit aufgesetzter Halbkugel (r = 2 m). Der Boden ist geschlossen. Skizziere den Achsenschnitt, benenne die Teile der Außenhaut und berechne, wie viel m² Blech für die gesamte Außenhaut nötig sind.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: O = 20π + 4π + 8π = 32π ≈ 100,5 m² (ohne Berührkreis).
Ein Rohr hat den Außenradius 5 cm, den Innenradius 4 cm und die Länge 20 cm. Wie groß ist seine gesamte Oberfläche (außen, innen und die beiden Stirnringe)?
Erklärung: Außenmantel 2π · 5 · 20 = 200π, Innenmantel 2π · 4 · 20 = 160π und zwei Ringe 2 · π · (25 − 16) = 18π: zusammen 378π ≈ 1187,5 cm². 684,9 cm² lässt den Innenmantel weg (218π), 1131,0 cm² lässt die Stirnringe weg (360π).
Ein Würfel mit der Kante 10 cm bekommt eine durchgehende Bohrung (r = 1 cm). Seine Oberfläche wird dadurch kleiner als 600 cm².
Erklärung: Die Bohrung nimmt zwar zweimal einen Kreis (2π) aus den Flächen weg, legt aber die Innenwand frei: 2π · 1 · 10 = 20π. Die Oberfläche wächst auf 600 − 2π + 20π ≈ 656,5 cm².
Wie groß ist die freigelegte Innenwand der Bohrung (r = 1 cm, Länge 10 cm) in cm², auf 0,1 genau?
Erklärung: Die Innenwand ist ein Zylindermantel: 2 · π · r · h = 2 · π · 1 · 10 = 20π ≈ 62,8 cm².
Berechne die Oberfläche des Würfels (Kante 10 cm) mit der durchgehenden Bohrung (r = 1 cm) in cm², auf 0,1 genau.
Erklärung: Würfel 600 cm², zwei Öffnungen fallen weg (−2π · 1²), die Innenwand kommt dazu (+20π): 600 + 18π ≈ 656,5 cm².