Zusammengesetzte Körper

Composite Solids

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben
GeometrieRaumgeometrieZusammengesetzte KörperVolumenOberfläche

Zusammengesetzte Körper werden in Grundkörper zerlegt, deren Formeln bekannt sind: Volumina werden addiert, bei Hohlkörpern V = V_außen − V_innen. Bei der Oberfläche zählt nur die Außenhaut, Berührflächen liegen innen und entfallen; freigelegte Innenwände einer Bohrung kommen dazu. Beispiel Eiswaffel (Kegel r = 3, h = 4 mit Halbkugel): V = 30π, O = 33π. Räumt das bloße Addieren von Oberflächen, das Abziehen von Radien statt Volumina und das Vergessen der Innenwand aus. Bereitet Längen im Körper und das Prüfen von Lösungswegen vor.

Zerlegen und rechnen

Einen zusammengesetzten Körper zerlegen wir in Körper, deren Formeln wir kennen. Die Eiswaffel besteht aus einem Kegel und einer aufgesetzten Halbkugel. Zeichne zuerst den Achsenschnitt und benenne die Teile, rechne dann jeden Teil einzeln und addiere die Volumina. Für r = 3 cm und h = 4 cm:

Bei einem Hohlkörper ist ein Teil herausgenommen, dann wird abgezogen: . Ein Rohr mit Außenradius 5 cm, Innenradius 4 cm und Länge 20 cm hat . Es werden die Volumina abgezogen, nicht die Radien.

Verändere r und h. Welcher Teil wächst stärker, wenn du r vergrößerst?

Nur die Außenhaut

Bei der Oberfläche zählt nur, was außen liegt. Kegel und Halbkugel sitzen auf einem Kreis aufeinander; diese Berührfläche liegt innen und fällt weg:

Wer die Oberflächen der Teile addiert (24π + 27π = 51π), zählt zwei Kreise zu viel. Bei einer Bohrung ist es umgekehrt: Die freigelegte Innenwand kommt hinzu, die Öffnungen fallen weg: Beim Rohr zählen deshalb der Außenmantel, der Innenmantel und die zwei Stirnringe. Ein Würfel mit Kante 10 cm und einer durchgehenden Bohrung von r = 1 cm hat , also mehr als vorher.

Welche Linien gehören zur Außenhaut, welche liegt innen?

Voraussetzungen (1)

Die Oberfläche der Kugel
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Lösungswege prüfen und vergleichen
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Aus welchen Grundkörpern besteht dieser Körper?

  • ● Zylinder und Halbkugel
  • ○ Zylinder und Kegel
  • ○ Quader und Kugel
Unten steht ein Zylinder mit r = 2 cm, oben sitzt ein Halbkreisbogen, also eine Halbkugel mit demselben Radius. Ein Kegel hätte gerade Seiten, eine ganze Kugel würde unten weiterlaufen.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Aus welchen Grundkörpern besteht der Bleistift im Achsenschnitt?

  • ● Zylinder und Kegel
  • ○ Zylinder und Halbkugel
  • ○ Zylinder und Pyramide
Der Schaft ist ein Rechteck im Achsenschnitt, also ein Zylinder. Die Spitze hat gerade Seiten, die in einem Punkt zusammenlaufen: ein Kegel.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Eine Eiswaffel mit r = 3 cm und h = 4 cm hat das Volumen 30π cm³, wenn man Kegel (12π cm³) und Halbkugel (18π cm³) addiert.

✓ Wahr
Die Teile liegen nebeneinander im Körper, ohne sich zu überlappen: V = V_Kegel + V_Halbkugel = 12π + 18π = 30π ≈ 94,2 cm³.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Rohr hat den Außenradius 5 cm, den Innenradius 4 cm und die Länge 20 cm. Wie groß ist das Volumen der Rohrwand?

  • ● 565,5 cm³
  • ○ 62,8 cm³
  • ○ 1570,8 cm³
V = V_außen − V_innen = π · 25 · 20 − π · 16 · 20 = 180π ≈ 565,5 cm³. 62,8 cm³ rechnet mit dem Radius 5 − 4 = 1 cm, 1570,8 cm³ vergisst den Hohlraum.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Eine Halbkugelschale hat den Außenradius 10 cm und den Innenradius 9 cm. Das Volumen ihrer Wand ist ⅔ · π · (10 − 9)³ ≈ 2,1 cm³.

✓ Falsch
Man muss die Volumina abziehen, nicht die Radien: ⅔ · π · (10³ − 9³) = ⅔ · π · 271 ≈ 567,6 cm³. Aus der Radiusdifferenz 10 − 9 = 1 lässt sich das Wandvolumen nicht berechnen, weil die Kugelfläche mitwächst.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Wie groß ist die Außenfläche der Eiswaffel (Kegel mit r = 3 cm, s = 5 cm und aufgesetzte Halbkugel)?

  • ● 103,7 cm²
  • ○ 160,2 cm²
  • ○ 131,9 cm²
Außen liegen nur der Kegelmantel π · 3 · 5 = 15π und die gewölbte Halbkugelfläche 2π · 9 = 18π: zusammen 33π ≈ 103,7 cm². 160,2 cm² addiert alle Oberflächen der Teile (24π + 27π), 131,9 cm² zählt zusätzlich den Deckel der Halbkugel (15π + 27π).
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Ein Würfel mit der Kante 4 cm steht auf einem zweiten Würfel mit der Kante 4 cm. Der Turm hat die Oberfläche 10 · 16 = 160 cm².

✓ Wahr
Die Berührfläche 4 · 4 liegt innen und zählt nicht: Von den 12 Quadraten der beiden Würfel bleiben 10 außen. Wer beide Oberflächen addiert, erhält 192 cm² und zählt zwei Quadrate zu viel.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein Rohr hat den Außenradius 5 cm, den Innenradius 4 cm und die Länge 20 cm. Wie groß ist seine gesamte Oberfläche (außen, innen und die beiden Stirnringe)?

  • ● 1187,5 cm²
  • ○ 684,9 cm²
  • ○ 1131,0 cm²
Außenmantel 2π · 5 · 20 = 200π, Innenmantel 2π · 4 · 20 = 160π und zwei Ringe 2 · π · (25 − 16) = 18π: zusammen 378π ≈ 1187,5 cm². 684,9 cm² lässt den Innenmantel weg (218π), 1131,0 cm² lässt die Stirnringe weg (360π).
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Ein Würfel mit der Kante 10 cm bekommt eine durchgehende Bohrung (r = 1 cm). Seine Oberfläche wird dadurch kleiner als 600 cm².

✓ Falsch
Die Bohrung nimmt zwar zweimal einen Kreis (2π) aus den Flächen weg, legt aber die Innenwand frei: 2π · 1 · 10 = 20π. Die Oberfläche wächst auf 600 − 2π + 20π ≈ 656,5 cm².
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Ein Körper besteht aus einem Zylinder mit dem Volumen 100 cm³ und einer aufgesetzten Halbkugel mit dem Volumen 40 cm³. Wie groß ist sein Volumen (in cm³)?

✓ Antwort: 140
Die Teile werden addiert: 100 + 40 = 140 cm³.
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Aus einem Zylinder (r = 5 cm, h = 8 cm) wird ein Kegel mit demselben Grundkreis und derselben Höhe herausgebohrt. Wie groß ist das Restvolumen (in cm³, auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 418.9
V = π · 25 · 8 − ⅓ · π · 25 · 8 = ⅔ · 200π = ⁴⁰⁰⁄₃π ≈ 418,9 cm³.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Zwei Würfel mit der Kante 5 cm werden mit je einer Fläche zusammengeklebt. Wie groß ist die Oberfläche des entstandenen Quaders (in cm²)?

✓ Antwort: 250
Jeder Würfel hat 6 · 25 = 150 cm². Die zwei verklebten Quadrate (je 25 cm²) liegen innen: 300 − 50 = 250 cm².
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Wie groß ist die freigelegte Innenwand der Bohrung (r = 1 cm, Länge 10 cm) in cm², auf 0,1 genau?

✓ Antwort: 62.8
Die Innenwand ist ein Zylindermantel: 2 · π · r · h = 2 · π · 1 · 10 = 20π ≈ 62,8 cm².
Schwer
Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Berechne das Volumen des Körpers aus Zylinder (r = 2 cm, h = 5 cm) und aufgesetzter Halbkugel (r = 2 cm) in cm³, auf 0,1 genau.

✓ Antwort: 79.6
Zylinder: π · 4 · 5 = 20π. Halbkugel: ⅔ · π · 8 = ¹⁶⁄₃π. Zusammen 20π + ¹⁶⁄₃π = ⁷⁶⁄₃π ≈ 79,6 cm³.
Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Eine Halbkugelschale hat den Außenradius 10 cm und den Innenradius 9 cm. Berechne das Volumen ihrer Wand (in cm³, auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 567.6
V = V_außen − V_innen = ⅔ · π · 10³ − ⅔ · π · 9³ = ⅔ · π · 271 ≈ 567,6 cm³.
Zahleneingabe #3 70s ▶ Testen

Berechne die Außenfläche der Eiswaffel (Kegel r = 3 cm, h = 4 cm, mit aufgesetzter Halbkugel r = 3 cm) in cm², auf 0,1 genau.

✓ Antwort: 103.7
Mantellinie s = √(3² + 4²) = 5 cm. O = π · 3 · 5 + 2 · π · 9 = 15π + 18π = 33π ≈ 103,7 cm².
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Silo besteht aus einem Zylinder (r = 2 m, Höhe 5 m) mit aufgesetzter Halbkugel (r = 2 m). Der Boden ist geschlossen. Skizziere den Achsenschnitt, benenne die Teile der Außenhaut und berechne, wie viel m² Blech für die gesamte Außenhaut nötig sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Außenhaut: Zylindermantel 2π · 2 · 5 = 20π, Boden π · 2² = 4π, gewölbte Halbkugelfläche 2π · 2² = 8π. Der Berührkreis zwischen Zylinder und Halbkugel liegt innen und zählt nicht. O = 20π + 4π + 8π = 32π ≈ 100,5 m².
O = 20π + 4π + 8π = 32π ≈ 100,5 m² (ohne Berührkreis).
Zahleneingabe #5 70s ▶ Testen

Berechne die Oberfläche des Würfels (Kante 10 cm) mit der durchgehenden Bohrung (r = 1 cm) in cm², auf 0,1 genau.

✓ Antwort: 656.5
Würfel 600 cm², zwei Öffnungen fallen weg (−2π · 1²), die Innenwand kommt dazu (+20π): 600 + 18π ≈ 656,5 cm².